Содержание
Введение 3
1 Теоретическая часть 14
1.1 Формирование навыков самоконтроля в процессе воспитания
и обучения вычислительным операциям в пределах десятка 14
1.2 Некоторые методы и приемы, используемые при формировании
вычислительных навыков в курсе математики начальных классов 30
1.3 Средства обучения математике в начальных классах, способ-
ствующие формированию навыков самоконтроля 43
1.4 Выводы 53
2 Практическая часть 55
2.1 Сравнительная динамика формирования навыков самоконтроля
посредством развития умственных способностей детей эксперимен-
тальной и контрольной групп 55
2.2 Методические особенности построения курса математики для
учащихся I класса 69
2.3 Выводы 78
Заключение 81
Список использованной литературы 83


Введение
Вопрос об усвоении знаний должен рассматриваться в настоящее время (в условиях ускоренного прогресса науки и техники) в неразрывной связи с проблемой умственного развития учащихся.
Знания являются основным материалом для умствен¬ной деятельности. Без знаний (в любых формах — в ви¬де представлений, понятий) мышление неосуществимо. Обогащение знаниями (прежде всего научными) непос-редственно влияет на умственное развитие человека, являясь одним из важнейших условий развития. В то же время люди отличаются друг от друга темпом на¬копления знаний, а также степенью их систематизации. Таким образом, запас знаний и их системность являют¬ся в какой-то мере не только условием, но и показате¬лями умственного развития. Выражение «в какой-то ме-ре» здесь употреблено не случайно. Эти показатели имеют существенное значение для характеристики умствен¬ного развития, однако они недостаточны. Необходимо учитывать, как, с помощью каких познавательных про¬цессов эти знания получены. В условиях школьного обу¬чения опытные учителя практически владеют средства¬ми, позволяющими им ясно различать характер получе¬ния знаний школьниками: если ученик не только ме¬ханически заучил, но и понял и овладел содержанием материала, то он в состоянии отвечать на вопросы, по-разному сформулированные, способен вносить в усвоен¬ный материал необходимые изменения, модифицировать свои знания в соответствии с поставленной задачей. В этих случаях мы имеем дело не с простым воспроизве¬дением знаний, а с более сложными процессами их ак¬туализации, предполагающими сформированность осо¬бых умений, которые могут быть отнесены к категории интеллектуальных умений.
Ускорение процесса усвоения не должно быть само¬целью, оно может явиться лишь следствием рационали¬зации обучения, применения более эффективных мето¬дов, способствующих интенсивному умственному разви¬тию.
Что касается изменения в самом умственном раз¬витии, то оно должно характеризоваться не столько быстрым переходом к высшим формам мышления, сколько наиболее широкой и полной реализацией интел-лектуальных возможностей ребенка в данный возраст¬ной период.
Задача обучения должна заключаться не в том, что¬бы заставить ребенка как можно быстрее пройти все стадии в развитии мышления, а в том, чтобы обеспе-чить наиболее полное развитие мышления, свойствен¬ного ребенку в определенный возрастной период.
Нам представляется глубоко правильной мысль, ко¬торую проводит и доказывает Н. С. Лейтес: «... наиболее полноценное возрастное развитие не такое, в кото¬ром детство продлевается, растягивается или, наоборот, чрезмерно сжимается, а такое, где каждый период дет¬ства своевременно и, главное, в полной мере вносит свою лепту в становление личности».
На наш взгляд, познавательные возможности ребен¬ка могут быть расширены под воздействием целенаправ¬ленного обучения, но это расширение имеет известные пределы.
Что касается меры усложнения программного мате¬риала, то она не определяется только соображениями относительно того, что ребенок может усвоить; значи¬тельно важнее установить, в какой степени необходимо введение в начальный курс математики тех или иных новых понятий. А эта необходимость диктуется, в пер¬вую очередь, задачами математического образования в определенный исторический период, системой построе¬ния всего курса математики, возможностями подготов¬ки учителей.
Поэтому мера усложнения программы не является постоянной величиной в различные исторические перио¬ды развития школы.
В процессе осуществления реформы начального ма¬тематического образования в нашей стране в 60-х гг. необходимо было обеспечить преемственность между но¬выми и ранее действовавшими программами, при этом курс начальной математики сохранил в основном тот же характер. «Основной стержень этого курса — арифмети¬ка натуральных чисел и основных величин».
В будущем предстоят более радикальные изменения программы по математике, поэтому продолжаются экс¬периментальные поисковые исследования. Прежде всего исследуются возможности реализации в курсе матема¬тики теоретико-множественного подхода (эксперимент проводится под руководством А. И. Маркушевича). В этих исследованиях выявляются более эффективные способы преподнесения учащимся нового материала, происходит как бы «приручение», по выражению А. И. Маркушевича, новых понятий.
Рассмотрим вопрос о том, каковы особенности мыш¬ления в младшем школьном возрасте и в каких направ¬лениях следует развивать мышление в процессе обуче¬ния математике.
Этот вопрос получил достаточно широкое освещение в психологической литературе, и он не вызывал особых разногласий у различных авторов до 60—70-х гг. Отме¬чалась доминирующая роль памяти у ребенка к началу школьного возраста.
П. П. Блонский расшифровывал эту особенность следующим образом: «... основная функция в этом воз¬расте — мыслящая память, т. е. запоминание, сопровож¬даемое думанием, что и когда вспомнить». Таким об¬разом, П. П. Блонский имел в виду память, взаимодей¬ствующую с мышлением, но в этом взаимодействии он отводил памяти ведущую роль на ранних этапах школь¬ного возраста.
На протяжении дошкольного периода в жизни ре¬бенка происходит интенсивное развитие мышления, при этом конкретное мышление, опирающееся на чувствен¬ные впечатления, опережает в своем развитии мышле-ние абстрактное. Формирующиеся в этом возрасте абстрактные понятия основываются на конкретных и об¬щих представлениях. Из трех стадий в развитии интел¬лекта, установленных Ж. Пиаже и широко принятых в мировой детской психологии, вторая стадия, т. е. ста¬дия конкретных мыслительных операций (идущая вслед за сенсомоторной стадией и предшествующая стадии абстрактно-формальных операций), приурочивалась обычно к периоду младшего школьного возраста.
В 60-х гг. произошло «расшатывание» этой устояв¬шейся возрастной характеристики. Этому способствовали результаты экспериментов, которые показали, что изменение условий обучения привело к явным изменени¬ям в особенностях умственной деятельности детей. Но каковы эти изменения? Осуществляется ли более полное развитие в рамках обнаруженных ранее стадий, или изменяется сам тип мышления? Этот вопрос решается различно разными исследователями, осуществлявшими экспериментальное обучение математике и другим пред¬метам в младших классах.
Л. В. Занков считает, что экспериментальное обуче¬ние вызывает к жизни развитие различных форм умст¬венной деятельности младших школьников. Именно в образовании систем, «включающих разнохарактерные способы действий», видит Л. В. Занков важнейшую ли¬нию умственного развития. В качестве основных пока¬зателей этого развития он использует анализирующее наблюдение (выявляемое в процессе восприятия пред¬мета), образование понятий (когда выделение сущест¬венных признаков, их обобщение происходит в услови¬ях искусственного опыта) и, наконец, планирование при выполнении трудового задания.
Важно подчеркнуть, что при характеристике продви¬жения младших школьников в их умственном развитии Л. В. Занков учитывает особенности чувственного опы¬та, познание сущности явлений (что можно отнести к теоретическому виду деятельности) и решение практи¬ческих задач.
А. А. Люблинская подвергает критике конкретные задания, использованные Л. В. Занковым, но в ее трак¬товке умственного развития есть и нечто общее с под¬ходом Л. В. Занкова. Это общее заключается в том, что в качестве показателей умственного развития привлека¬ются процессы чувственного познания (выясняется, как умеет наблюдать ребенок, как воспринимает картины), процессы обобщения и классификации (как понимает и рассуждает), а также решение практической задачи (как ребенок умеет что-либо делать). Характеризуя работу ученика на высоком уровне обобщения, Люблин¬ская отмечает в качестве важной характерной черты прогресса ученика в умственной деятельности «постоян¬ное движение мысли от частного к общему, от него к конкретно данному».
А. А. Люблинская не ограничивается показателями, характеризующими особенности интеллекта ребенка, и прослеживает изменения в личности школьников экспе¬риментальных классов, их отношение к учебной дея-тельности, познавательные интересы.
Значительное место в характеристике умственного развития отводится А. А. Люблинской особенностям использования учениками полученных знаний в новых условиях. Автор отмечает легкую «дизассоциацию» зна¬ний и применение их по-другому, в необычных сочета¬ниях и комбинациях к решению необычных задач.
Далее у школьников экспериментальных классов отмечается изменение всего «стиля» работы (понятие, введенное по отношению к школьникам Ю. А. Самари¬ным), что проявляется в систематичности и организо¬ванности любой их учебной деятельности.
Н. А. Менчинская и М. И. Моро, разрабатывая науч¬ные основы перестройки и усовершенствования обуче¬ния начальному курсу математики, исходили из прин¬ципа полной реализации возрастных познавательных возможностей детей.
Это касается как конкретного, так и абстрактного мышления младших школьников. Оба эти вида мыш¬ления находятся на начальной стадии развития, и обу¬чение дает возможность существенно продвигаться вперед в обоих направлениях.
Младший школьник на первых этапах своего разви¬тия способен усваивать абстрактный материал, только опираясь на восприятие предметов (а иногда и дейст¬вия с ними), но в дальнейшем еще в пределах этого возраста опора на восприятия и действия с предметами перестает быть необходимой и оказывается нужной только в тех случаях, когда ученик переходит к изуче¬нию сложных понятий. Так, значение наглядных опор, исчезнувших при оперировании целыми числами, опять возрождается при переходе к изучению дробей и др.
Известное доминирование конкретного мышления над абстрактным проявляется в часто возникающих у детей ошибках обобщения, когда в основу обобщения кладутся внешние (обнаруживаемые при восприятии), несущественные признаки. Так, ученик судит о способе действия при решении арифметической задачи не на основе выявления внутренней зависимости между иско¬мыми и данными, а на основе внешних признаков рас¬положения цифровых данных в тексте задачи.
Однако проявления конкретного мышления в этом возрастном периоде отнюдь не ограничиваются функ¬цией опоры для выполнения абстрактных мыслитель¬ных операций и не выступают только в качестве их неа¬декватных, не соответствующих требованиям задачи «заместителей». Развитие конкретного мышления в младшем школьном возрасте имеет свою собственную логику.
Существуют различные формы конкретного мышле¬ния, подлежащие развитию: это воссоздание ярких представлений, отображающих жизненную ситуацию, описанную в тексте задачи, умение освободиться ют из¬лишней «образной нагрузки» и представить ситуацию задачи в виде схемы, наглядно отображающей внутрен¬ние зависимости между искомыми и данными. Это, на-конец, оперирование пространственными представления¬ми при изучении геометрии, узнавание знакомых геомет¬рических фигур, данных в качестве элементов более сложных конфигураций, чтение и понимание несложных чертежей, моделирование геометрических фигур, уме¬ние мысленно выполнять простейшие преобразования геометрических образов и т. д.
Функции абстрактного мышления при изучении на¬чального курса математики также многообразны.
При формировании математических понятий и зако¬нов учащиеся объединяют сходные существенные приз¬наки, присущие ряду конкретных явлений, отделяя их от несущественных, осуществляют обобщение и отвлечение в неразрывной связи друг с другом. Здесь мы имеем дело с одним из видов отвлечения.
Другой вид отвлечения выполняется в процессе применения полученных знаний к решению задач (в ши¬роком смысле этого слова), когда от школьника требу¬ется найти известное ему понятие или принцип в усло¬виях новой для него конкретной задачи. Так, он получа¬ет задание определить, какой закон (или свойство) может быть использован при решении конкретного приме¬ра. В этих случаях необходимо «узнать» изученное ра¬нее понятие или закон в условиях нового конкретного задания, как бы «очистить» условие от несущественных признаков, которые «маскируют», затрудняют узнава¬ние.
В этих и аналогичных случаях отвлечение выполня¬ется без обобщения, поскольку последнее уже было осуществлено ранее.
Если при формировании понятий и законов домини¬рует процесс индукции (от частного к общему), то в условиях применения знаний к решению новой конкрет¬ной задачи на передний план выступает дедуктивный процесс, поскольку необходимо, удерживая в памяти общее понятие (или принцип), приложить его к данно¬му частному явлению. Вместе с тем здесь имеет место и индукция, так как опора на предъявленное условие конкретного задания побуждает к воспроизведению именно данного понятия или принципа.
Важное значение для характеристики развития мыш¬ления имеет овладение операциями абстрагирования и конкретизации, т. е. применение их по собственной ини¬циативе в качестве приемов, способствующих решению задания.
Так, когда от ученика требуется решить текстовую арифметическую задачу, он самостоятельно переформу¬лирует условие задачи, опуская сюжетные данные и переводя имеющиеся в задаче словесные выражения на более абстрактный математический язык (например, конечный вопрос задачи «Сколько яблок было у девоч¬ки и мальчика вместе?» может быть переформулиро¬ван: «Требуется найти общее количество яблок» или: «Нужно найти сумму чисел» и т. п.).
Учеником используется противоположный прием конкретизации, когда ему предлагается, например, ответить на вопрос, заданный в отвлеченной форме: «Как изменится частное, если делитель увеличить в несколь¬ко раз, а делимое оставить без изменения?» Ученик в этом случае составляет конкретный пример на деление, увеличивает в несколько раз делитель, сравнивает меж¬ду собой два полученных частных и дает ответ, что ча¬стное уменьшится во столько же раз.
Понятия «конкретное» и «абстрактное» имеют отно¬сительное значение, т. е. один и тот же учебный мате¬риал на одном этапе обучения может быть для учени¬ка абстрактным, а на другом — более позднем — он приобретает для него конкретное значение, выполняя роль опоры по отношению, к новому, более абстрактно¬му материалу.
Так, на первоначальном этапе обучения, когда уча¬щиеся от практических действий с множествами предме¬тов переходят к арифметическим действиям с числами, эти числа и вычисления, которые они производят, носят для них отвлеченный характер. Но эти же числа и дей¬ствия с ними позднее становятся для учащихся своеоб¬разной и конкретной опорой при рассмотрении свойств арифметических действий. Последнее выявляется очень ясно, если предложить младшему школьнику сформули¬ровать, скажем, правило умножения суммы на число. Он испытывает определенные трудности в формулиров¬ке соответствующего правила, будучи лишен опоры на действия с числами, и легко справляется с заданием в том случае, если рассматривает различные способы ум¬ножения суммы на число на конкретном числовом примере.
Аналогичную роль конкретной опоры выполняют действия с числами при переходе к оперированию буквенной символикой. Вначале дети обнаруживают переместительное свойство сложения, наблюдая числовые примеры с переставленными слагаемыми; затем они заменяют числа буквами, тем самым подымаясь на бо¬лее высокую ступень обобщения; теперь они использу¬ют более адекватное выражение общего принципа, осво¬бодившись от его конкретного воплощения в числах.
Изменение функции одного и того же материала в процессе обучения (когда он, приобретая более-конкрет¬ное значение, становится опорой в усвоении нового — более абстрактного) играет существенную роль в прогрессе умственной деятельности учащихся. Но на всех этапах усвоения остается в силе психолого-дидактичес¬кий принцип взаимодействия конкретного и абстрактно¬го мышления.
Только у отдельных школьников, испытывающих трудности в учении, наблюдается нарушение тесной связи между двумя видами мышления, при этом данное явление обнаруживается в двух формах. Одни школь¬ники чрезмерно долго задерживаются на этапе опериро¬вания наглядными способами, они как бы «цепляются» за наглядное (например, долго считают на пальцах, в то время как другие перешли уже к отвлеченным спо¬собам вычислений), не усваивают отвлеченных терми¬нов, избегают ими оперировать, в то время как другие ученики, наоборот, чрезмерно быстро отрываются от наглядных способов, используют абстрактные термины без достаточного понимания их конкретного смысла, что говорит о формальном усвоении.
Прав П. П. Блонский, который, говоря о воздействии школьного образо-вания, утверждал следующее: «... оно делает мышление более и более абстрактным и в то же самое время более детальным и более конкретным».[1] Это положение впол¬не применимо к воздействию школьного образования на мышление учащихся и в современных условиях.
П. П. Блонский указывал еще на одно направление, в котором должно развиваться мышление школьника: оно должно быть «более дисциплинированным и более застрахованным от ошибок».[1] Это положение требует некоторой расшифровки. Дисциплинировать мышление, т. е. уметь подчинять его поставленной задаче, не толь¬ко знать, но и владеть, правилами рационального мыш¬ления (в какой-либо области, определяемой программ-ными требованиями).
Это полностью относится к младшему школьнику, который за три года успевает проделать очень сложный путь от чисто репродуктивно¬го подхода к учебной (в частности, арифметической) задаче, характеризующегося воспроизведением случайных способов решения без предварительного всесторон¬него анализа условия, — до подхода, который может быть назван продуктивным. Этот подход предполагает преж¬де всего внимательное интонационно-правильное чте¬ние условия задачи, ее исчерпывающий анализ и, да¬лее, если задача достаточно трудна, использование раз¬личных вспомогательных способов, направленных на поиски хода решения задачи: актуализация ярких об¬разов, воспроизводящих жизненную ситуацию, описан-ную в условии, или, наоборот, «перевод» задачи на язык математических терминов без учета сложных дан¬ных, краткая числовая или схематическая запись усло¬вия задачи, выполнение числовой пробы (т. е. действия с числами), а затем отказ от нее после повторного ана¬лиза условия задачи и т. д. Все эти пробы заключают в себе элементы эвристического мышления, для их осу-ществления необходимо знание правил решения зада¬чи (теперь некоторые из этих правил записываются в «памятке» для учащихся), практическое умение дейст¬вовать в соответствии с правилами, а также системати¬ческий самоконтроль, благодаря которому может быть отвергнут ошибочный путь решения и продолжены поис¬ки в новом направлении, а затем выполнена проверка полученного ответа.
Естественно, что сказанное о самоконтроле примени¬тельно к решению задач полностью относится и к дру¬гим видам учебной деятельности. Эта черта «стиля» работы ученика, связанная с дисциплинированностью мышления, становится в конечном счете чертой его личности.
Особый подход к проблемам развития мышления младших школьников реализуется в работах Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. В. В. Давыдов специально разрабатывал вопрос о соотношении конкретных и абстрактных знаний, исследуя его, в частности, применительно к обу¬чению начальной математике.
В. В. Давыдов считает задачей «собственно-теорети¬ческого мышления» «соединение» отдельных, частных моментов действительности в целое, конкретное.[2] Тео¬ретическое мышление, как отмечает далее этот же ав¬тор, является более высокой ступенью познания, и ха¬рактерные для него «собственно понятия» отличаются от понятий эмпирических, называемых общими пред¬ставлениями. Пути образования этих двух категорий понятий различны.
Функция теоретического обобщения, приводящая к «собственно понятию», состоит в выделении и фиксации исходных связей и отношений. Эти связи, как считает В. В. Давыдов, «выступают как единый источник, как генетическая основа всех других особенностей изучае¬мого целого, как его еще не развивавшаяся «клеточка».[2] В соответствии с этим обобщение в данном случае достигается не путем сопоставления признаков у отдель¬ных предметов, т. е не индуктивным путем, а путем всестороннего анализа сущности изучаемых предметов и явлений.
Путь, которым осуществляется теоретическое мыш¬ление, согласно трактовке В. В. Давыдова, — это путь восхождения от абстрактного к конкретному, при этом автор считает, что «нельзя представлять дело так, буд¬то теоретическое мышление как бы надстраивается над эмпирическим (в смысле формально-индуктивного мы¬шления). На самом деле оно опирается на ему самому свойственные процессы выработки содержательных аб¬стракций при переходе от чувственно-конкретного к абстрактному».[2]
В. В. Давыдов подвергает критике широко распрост¬раненное положение о «конкретности» мышления млад¬шего школьника, утверждая вопреки этому, что «млад¬шие школьники мыслят сугубо односторонне и абстракт¬но, так как предметом их внимания чаще всего являются сведения о внешних обособленных свойствах вещей».
В то же время В. В. Давыдов пишет о том, что «повышение теоретического уровня начального обучения не только исключает, а необходимо предполагает раз¬вертывание особых форм предметно-чувственной дея¬тельности детей с различными дидактическими посо¬биями», причем эта деятельность должна быть направ¬лена на обнаружение «клеточки» изучаемого целого.
Применительно к обучению математике В. В. Давы¬дов делает попытку осуществить путь от общего к ча¬стному, строя соответствующим образом эксперимен¬тальное обучение: вводятся исходные понятия, раскры¬вающие внутреннее отношение вещей, которое затем конкретизируется на многих математических объектах. Автор соотносит этот принцип развертывания учебного предмета с принципами построения современной мате¬матики как науки (Н. Бурбаки и др.).
В. В. Давыдов, проводя эксперимент, ставит вопрос о том, нельзя ли ускорить формирование у детей фор¬мальных операций (по Пиаже, они складываются к 12—13 годам), если ввести такой учебный материал, усвое¬ние которого потребует анализа математических струк¬тур.
Замысел эксперимента состоял в том, чтобы найти возможности раскрыть перед 7—8-летними детьми в «начале» курса математики исходное понятие «отно¬шение — структура». Этим определялись особенности по¬строения экспериментальной программы, первый раз¬дел которой знакомит детей до введения числа с основ¬ными свойствами величин, при этом с самого начала вводится буквенная символика, фиксирующая отноше¬ние объектов (равенство, неравенство).
Вначале дети работают с предметным дидактическим материалом (бумажными полосками, палочками, куби¬ками и грузами), затем они переходят к оценке свойств равенства — неравенства при наличии только бук¬венных формул. Учитель комментирует действия уча¬щихся, показывая, что при всей разнице сравниваемых длин получается равенство или неравенство.
С. Л. Рубинштейн также подчеркивал, что образное и абстрактно-теоретическое мышление являются «рав¬но адекватными способами познания» различных сторон объективной действительности, он отмечал относитель¬ность различий между ними и наличие постоянных взаимопереходов.
Логическое абстрактное мышление на этапе своего формирования неразрывно связано с чувственно-наг¬лядной основой и в то же время на любом, даже самом высоком, уровне мышления выступает не только поня¬тие, но и образ.[3]
Цель данной работы – раскрыть формирование навыков самоконтроля и его роль в обучении вычислительным навыкам.

1 Теоретическая часть
1.1 Формирование навыков самоконтроля в процессе воспитания и обучения вычислительным операциям в пределах десятка

Краеугольным камнем советской педагогической науки является положение о единстве и взаимообусловленнос¬ти обучения, воспитания и развития детей.
Несмотря на большое значение природных задатков и способностей человека, особенностей характера, поз¬навательные возможности, привычки, склонности и ин¬тересы формируются не стихийно, а в процессе специ¬ально организованной деятельности. Поэтому от целе¬направленности учебной и воспитательной работы со школьниками (т. е. от ее содержания, организации и методов) во многом зависят конечные результаты их обучения, воспитания и.развития.
Взаимообусловленность процессов обучения, воспи¬тания и развития учащихся не зависит от того, призна¬ет ее учитель или нет. Но в том случае, когда взаимо¬действие этих процессов не (планируется и не направля¬ется учителем, оно не приносит хороших результатов.
Например, воспитательное воздействие на учащихся оказывают не только специальные мероприятия, но и любые действия учителя и товарищей по классу, по школе, т. е. все сложившиеся особенности классной и внеучебной деятельности школьника. Резкость в обра¬щении с детьми, наказание их плохими отметками, не¬оправданным противопоставлением одного ученика классному коллективу подавляют психику ребенка. Точ¬но так же частота опроса и его содержание, требования к оформлению записей в тетрадях, взаимосвязь домаш¬ней и классной работы, взаимоотношения учащихся в процессе учебного труда, т. е. конкретные условия, окажут определенное влияние на формирование акку¬ратности и добросовестности школьников или, наоборот, разовьют у них в той или иной степени неряшливость, безответственность, легкомыслие; приучат работать систематически, сознательно регулируя свой учебный труд, или от случая к случаю, под давлением окружаю¬щих; научат терпеливо преодолевать трудности и учить¬ся с полным напряжением сил или разовьют привычку бросать дело при первом же затруднении.
Совершенно ясно, что эти результаты, в свою очередь, окажут влияние на общий уровень учебной работы и на степень овладения знаниями, умениями и навыками. Поэтому речь идет не только о взаимодействии, но и о единстве обучения, воспитания и развития учащихся.
Для того чтобы конкретно представить себе пути воспитательной работы, связанной с обучением мате¬матике, необходимо уяснить специфические особенности дисциплин математического цикла, а также воспита¬тельные возможности, заложенные в самом учебном ма¬териале.
Первая и наиболее существенная особенность мате¬матики — это ее отвлеченный, абстрактный характер. Математика отличается также строгой обоснованностью, доказательностью рассуждений, систематичностью. Ей свойственны точные и лаконичные формулировки, осо¬бый стиль мышления. Все эти особенности математики находят отражение и в курсе начальных классов. Заня¬тия математикой могут способствовать формированию у детей элементарных основ научного мировоззрения, по¬могать развитию творческих способностей и воспитанию многих ценных черт и качеств личности.
«Органическое сочетание обучения и воспитания, ус¬воения знаний и развития познавательных способнос¬тей учащихся, (повышение теоретического уровня обра¬зования и формирование умений применять знания на практике, выработка, необходимых для этого навыков,— говорится в объяснительной записке к программе на¬чального обучения математике, — вот те принципы, ко-торые должны стать ведущими при обучении математи¬ке в младших классах школы».
Содержанием уроков начальной математики являют¬ся: решение задач, устные и письменные вычисления, упражнения в измерении, материал геометрической и алгебраической пропедевтики.
Задачи имеют определенную тематику, сюжет, фабулу. В их тематике отражается советская действитель¬ность: жизнь и труд советских людей, их борьба за вы¬полнение народнохозяйственных планов, за повышение производительности труда, за экономию материалов и времени, за высокие урожаи, за развитие культуры. Поэтому многие задачи, естественно, могут быть ис¬пользованы не только для собственно математических целей, но и для воспитания детей.
Решив, например, задачу и получив ответ, из кото¬рого видно, что колхозники собрали высокий урожай картофеля, учитель может подчеркнуть значение этого факта для народного хозяйства и сравнить этот уро¬жай с урожаем ближайшего к школе колхоза.
После решения задачи о том, каких успехов добива¬ются передовые бригады труда в повышении производительности труда, учитель хорошо сделает, ес¬ли сравнит успехи этих ударников с достижениями пере¬довиков на ближайшем от школы предприятии.
Не нужно вести продолжительных бесед, которые отнимают много времени и уводят класс в сторону от прямых задач урока математики, но полезно кратко комментировать цифры, которые можно использовать в воспитательных целях.
Возникает вопрос: как поступать в тех случаях, когда изучаются арифметические действия над отвле¬ченными числами? Ведь отвлеченные числа, взятые са¬ми по себе, нейтральны по отношению к задачам воспи¬тания. В этих случаях должны воспитывать методы и организация самого учебного процесса. То же относит¬ся и к задачам с «нейтральным» содержанием.
При обучении письменным вычислениям (при усло¬вии правильного ведения урока) воспитываются ответст¬венность за результаты вычислений, настойчивость в поисках правильного решения, навыки проверки и само-контроля, внимание и осторожность в вычислениях (тре¬буется проверка выполнения каждого арифметического действия).
Обучение письменным вычислениям дает также бла¬годатный материал для эстетического воспитания детей, приучая их к тому, чтобы они соблюдали чистоту и аккуратность при ведении тетрадей, писали цифры краси¬во и четко, располагали действия на страничке тетради симметрично, не прибегали к письменным вычислениям там, где можно вычислить устно, и т. д.
Правильное обучение устным вычислениям воспи¬тывает анимание, усидчивость, память на числа «сообра¬зительность (каждая пара чисел требует своего приема вычисления). Воспитывается также умение слушать и быстро реагировать на вопрос и задания учителя, быст¬ро переключаться с одного действия на другое и т. д. Наконец, воспитывает урок в целом, его организация, стиль работы учителя, его манера держаться в клас¬сном коллективе, установленные им порядки, его требо¬вательность к ученикам и умение создать на уроке тру¬довую атмосферу. Таким образом, на уроках математи¬ки должны воспитываться: ответственное отношение к учению (уже на первых минутах урока проверяется, что и как сделал ученик дома, готовясь к (предстоящему уроку, причем на уроках арифметики легко обнаружи¬вается как полнота, так и качество выполнения домаш¬него задания); трудолюбие (если учитель организовал работу детей так, что в течение 45 минут ученик тру¬дится в полную меру своих сил, проявляя самостоя¬тельность, активность и творческую инициативу в добы¬вании знаний, то такой урок является хорошей школой воспитания трудолюбия, целенаправленности); умение работать в коллективе (не отставать, сообразовывать свои темпы работы с темпами работы классного коллек¬тива; на уроках арифметики часто происходит смена од¬ного вида работы другим, а эта смена должна прохо¬дить дружно и организованно); ребенок должен актив¬но участвовать в работе класса: не только отвечать, но и спрашивать, не только получать знания, но передавать другим свои знания, полученные из разных источников: из книг, из жизни.
Чрезвычайно ответственным является требование построения учебного процесса с учетом мировоззрен¬ческих положений. Особенно важное место среди них занимает положение о практике, которая является ос¬новой создания теории, служит областью ее приложе¬ний и является критерием проверки теоретических по¬ложений.
В курсе начальной математики дети встречаются с такими наиболее отвлеченными понятиями, как «число», «мера», «пространственная форма», «переменная», «функция», знакомятся со свойствами чисел, с арифме¬тическими действиями и законами, которым эти дейст¬вия подчиняются, со взаимоотношениями между «ими. И хотя сами эти понятия являются отражением реаль¬ных отношений, существующих между различными предметами и явлениями природы, они могут быть вос¬приняты детьми как нечто формальное, оторванное от жизни. Представление о «сухости» и формальном харак¬тере математики, по меткому выражению А. Я. Хинчина, возникает в сознании учащихся «со стихийной неиз¬бежностью».
Одна из главных воспитательных задач, встающих перед учителем, — преодоление этой тенденции.
Главный путь решения этой задачи в начальных классах — всемерное укрепление связи обучения с жизнью.
Формировать математические понятия на конкретном жизненном материале, показать детям, при решении ка¬ких практических вопросов и задач находят применение те знания и умения, которыми они овладевают на уро¬ках математики, — одна из важнейших сторон этой ра¬боты. Дети должны убедиться, что все те понятия и пра¬вила, с которыми они знакомятся на уроках, служат практике.
Школьникам надо показать место, которое занимает математика в повседневном быту, в детских играх, в труде людей различных профессий.
Очень важно также довести до понимания учащихся тот факт, что каждое положение математики не только отвечает задачам практики, но и родилось из потребно¬стей практики, представляет собой результат анализа и обобщения человеком практической деятельности и наблюдаемых им явлений окружающей жизни. В на¬чальных классах достичь этого в полной мере, конечно, нельзя, но первые шаги в этом направлении следует делать.
Этой цели отвечает прежде всего систематическое выполнение учениками практических и самостоятельных работ, на основе которых дети сами смогут подметить ту или иную математическую закономерность, внести (конечно, под руководством и с помощью учителя) то или иное усовершенствование в способы вычислений, решения задач и т. п. Если учитель сумеет хотя бы в некоторых случаях дать детям возможность почувство¬вать себя «творцами» математики, то это будет для них наиболее убедительным доказательством того, что даже отвлеченные математические понятия, законы и свойства представляют собой результат творческой дея¬тельности человека, что они сложились в практике.
Это первый, но важный шаг в направлении формиро¬вания марксистско-ленинского понимания связи между наукой и практикой.
Приведем один-два примера для иллюстрации того, как можно поставить соответствующую работу в на¬чальных классах.
Уже па первых шагах обучения счету детям нужно показать, что результат счета не зависит от физических, химических и других свойств пересчитываемых объек¬тов, а также от порядка, в котором они пересчитываются.
Можно, конечно, сообщить детям эти знания в дос¬тупной для них форме в готовом виде. Путь обучения в этом случае будет характеризоваться формулой: «вни¬мательно прослушай объяснение учителя — пойми — за¬помни — научись практически пользоваться приобретен¬ными знаниями». Это вполне возможный путь, который во многих случаях используется при обучении матема¬тике и дает неплохие результаты. Однако в воспита¬тельных целях и в целях общего развития детей следует применять и другой методический путь: пусть учитель так организует практическую работу учеников, чтобы они смогли самостоятельно сделать те же выводы; пусть обучение строится по формуле: «наблюдай—сравни¬вай — действуй — оцени результат своих действий — сделай вывод — научись пользоваться этим выводом».
На каждом из этих этапов работы учитель руково¬дит деятельностью детей, помогает подвести итог и сформулировать «открытую» закономерность. Такой путь будет продуктивен при рассмотрении самых различных вопросов программы.
При обучении детей измерениям, прежде чем вво¬дить определенные единицы измерения (сантиметр, килограмм и др.), полезно предложить учащимся пред¬ставить, какой была бы жизнь, если бы никакой опре¬деленной системы мер не существовало. После этого нетрудно подвести учащихся к выводу о необходимости выбора определенной единицы измерения.
Если мы хотим объяснить учащимся, как зарожда¬лись более совершенные способы вычислений, как от¬крывались свойства арифметических действий, необхо¬димо создать такие условия, при которых дети получи¬ли бы возможность сравнивать различные пути реше¬ния одной и той же практической задачи (например, нахождение периметра прямоугольника) и под руковод¬ством или с помощью учителя выяснять, какой из путей является более рациональным.
Выполняя подобные задания, дети на собственном опыте получают возможность наблюдать, как, из каких источников вытекают математические истины.
В воспитательных целях полезно использовать в ра¬боте с детьми некоторые сведения из истории (это мож¬но сделать на внеклассных, кружковых занятиях и др.). Обращение к истории способствует пробуждению у де¬тей интереса к математике и оживлению урока. Отдель¬ные примеры из истории о том, как развивались мате¬матические понятия, помогут детям лучше понять связи арифметики с практикой.
Так, например, очень полезны краткие сведения из истории возникновения и развития единиц измерений, и в частности мер длины. Знакомство со старинными рус¬скими мерами (пядь, локоть и др.) сделает для детей по¬нятным происхождение мер из нужд практики. Рас¬сказ о том, как и почему эти меры были заменены при¬нятыми сейчас, поможет раскрыть связь между мерой и числом, показать, как постепенно совершенствовались математические средства, используемые людьми в прак¬тической деятельности.
Поучительны также некоторые сведения из истории устной и письменной нумерации и др.
Уроки математики многое могут дать и для перво¬начального ознакомления детей с разного рода зависи¬мостями, для раскрытия причинной, связи между явле¬ниями окружающей действительности.
Этой цели отвечает решение многих из предусмот¬ренных программой математических задач, и в частности задач, решение которых основано на понимании пря¬мой и обратной пропорциональной зависимости между такими величинами, как цена, количество и стоимость; скорость, время и пройденное расстояние; производи¬тельность труда за единицу времени, время и вся полу-ченная продукция.
Задача построения учебной работы по математике с целью наилучшего формирования элементов научно¬го мировоззрения школьников в данное время приобре¬тает особую актуальность ввиду обновления содержа¬ния начального курса математики.
Передовые учителя активно используют в своей практике такие методы и приемы обучения, которые рас¬крывают диалектические идеи зависимости и взаимо¬связи математических понятий, идеи движения и измене¬ния изучаемых процессов, величин, количеств, напри¬мер:
• упражнения, в которых по данной зависимости эле¬ментов требуется найти все возможные значения (и на¬оборот);
• задачи с недостающими или избыточными данными с последующим преобразованием их в «нормальные задачи»;
• совместное изучение вопросов (решение задач), логи¬чески связанных друг с другом (к примеру, умножения и деления, прямых и обратных задач).
Многие из решаемых в начальных классах задач позволяют познакомить детей с теми или иными явлени¬ями в динамике, в изменении, что также имеет большое значение для выработки правильного представления об окружающей действительности. Так, решая задачи, де¬ти узнают, что скорость движения поезда, автомобиля и т. д. не остается постоянной в течение всего пути, что изменяется со временем и производительность труда и т. п.
Особую роль в раскрытии этих важнейших момен¬тов играют задачи, в которых требуется на основе ана¬лиза условий заранее «предсказать», какого можно ожидать результата от предписанных действий. Напри¬мер, определяя число цифр в частном от деления 2352 на 21, дети могут заранее сказать, что частное должно быть трехзначным числом; сравнивая выражения вида 78+16 и 78+18, уже первоклассники, не вычисляя результата, могут «предсказать», что значение второго выражения больше, чем первого, и т. п.
Эти операции несут в себе элемент научного пред¬видения, ибо здесь «предсказание» основано на точ¬ном анализе фактов и на знании объективных законов, которым подчиняется данное явление, на понимании сущности производимых действий.
Приведенных примеров достаточно, чтобы утвер¬ждать, что уроки математики могут помочь школе сделать первые важные шаги в направлении формирования у учащихся основ научного мировоззрения.
Этого можно, однако, добиться только при том усло¬вии, если учитель постоянно будет иметь в виду эту цель и умело использовать те возможности, которые от¬крывает начальное обучение математике.
Обучение математике может внести определенный вклад в процесс нравственного воспитания учащихся. Речь идет о продуманном ознакомлении школьников с фактами, показывающими преимущественное развитие социалистической системы хозяйства перед капиталис¬тической, с данными, характеризующими достижения знатных людей труда, и т. д. Это достигается включе¬нием в предлагаемые для решения задачи некоторого числа задач (в основном, на арифметическом материа¬ле), содержание которых расширяет кругозор учащихся.
Арифметические задачи могут и должны рассматри¬ваться не только в качестве основы для формирования арифметических понятий, для разъяснения смысла арифметических действий и как упражнения в вычисле¬ниях, но и как своего рода короткие рассказы, знакомя¬щие детей на близком, доступном, интересном для них материале с окружающей жизнью. Поэтому по отноше¬нию к каждой задаче, так же как по отношению к любому рассказу, который дети читают на уроке русского языка, может быть поставлен вопрос: «Что она дает для воспитания детей?»
Задачи, имеющиеся в учебниках, содержат разнооб¬разный жизненный материал, который далеко не доста¬точно используется учителями в целях воспитания. В результате дети обычно смотрят да решение задачи как на чисто арифметическое упражнение и не придают значения содержанию задачи. Вследствие этого воспи¬тательное воздействие работы снижается.
Большую воспитательную роль играют беседы учеников с рабочими, служащими, колхозниками, из кото¬рых дети узнают, чем живут эти люди, как они борются за повышение производительности труда, что делается в стране для роста благосостояния трудящимся.
Числовые данные, почерпнутые детьми на основе собственных наблюдений или из бесед со старшими, с успехом используются при составлении задач на мест¬ном материале во всех классах.
Однако нельзя не учитывать и того, что интересы младших школьников не ограничиваются интересами, связанными с жизнью своей школы, села или города: 10-11-летних детей интересует жизнь всей нашей стра¬ны. Новейшие достижения техники, планы развития промышленности, преобразования природы — все это находит живейший отклик в душе каждого школьника.
Расширять и углублять этот интерес, использовать его для воспитания у детей таких высоких моральных качеств, как любовь к Родине, патриотизм, стремление стать достойным членом нашего общества — долг и прямая обязан-ность учителя.
Этой цели отвечает составление и решение арифме¬тических задач, отражающих планы создания матери¬ально-технической базы общества, планы культурно¬го строительства в нашей стране, механизации сельско¬го хозяйства и т. п.
Следующее важное требование к учебному процессу с точки зрения нравственного воспитания — содейство¬вать превращению знаний принципов и норм морали в личные убеждения школьников, в устойчивые привыч¬ки их поведения.
Процесс обучения любому предмету требует общения школьников друг с другом, совместной работы учащих¬ся и учителя, совместной деятельности учеников стар¬ших и младших классов. Следовательно, в процессе учеб¬ной работы школьников непрерывно формируется их моральный опыт.
В процессе обучения в младших классах ученики усваивают первоначальные знания правил личного и общественного поведения, закрепляют эти знания во внеучебной деятельности, в общении со своими товари¬щами по классу, школе, со своими учителями.
Достижение целей нравственного воспитания требу¬ет последовательного, непрерывного, систематического предъявления учителем точно определенных требова¬ний: к хранению книг и тетрадей; к оформлению учеб¬ных записей дома и в классе; к подготовке к началу урока; к устным ответам учеников, к выполнению до¬машних заданий; к восприятию объяснения нового ма¬териала и выполнению упражнений; к оценке правиль¬ности ответа ученика его товарищами и выполнения другой коллективной учебной работы. Поэтому учебная деятельность является как бы школой нравственного воспитания, где проверяются на соответствие с практи¬кой знания детей о принципах и правилах поведения, где формируются их моральные взгляды и поведение в коллективе.
Школа должна вооружить учеников умениями и на¬выками, необходимыми для самостоятельного решения новых вопросов, новых учебных и практических задач. Для достижения этой цели необходимо упражнять де¬тей в самостоятельном применении приобретенных зна¬ний я умений в новых условиях, систематически зани¬маться выработкой у детей навыков самостоятельной работы.
Курс начальной математики позволяет организовать процесс обучения так, чтобы способствовать воспитанию у детей самостоятельности, инициативности, привычки и любви к трудовому усилию, чувства ответственности, настойчивости и других важных с точки зрения комму¬нистического воспитания черт личности.
Среди воспитательных задач, стоящих перед учите¬лем при обучении детей математике, воспитание само¬стоятельности и инициативы занимает одно из главных мест. Используя ту ли иную форму организации заня¬тий на уроке, выбирая тот или иной метод обучения (в зависимости от содержания учебного материала и от целей каждого конкретного урока), учитель должен постоянно заботиться о том, чтобы при этом постепен¬но, но систематически возрастали требования к само¬стоятельности учащихся.
На каждом этапе обучения нужно ставить такие цели, которые, являясь доступными, требовали бы от уче¬ника известного напряжения умственных сил и способ¬ностей. Соблюдение этого условия — необходимая пред¬посылка для воспитания у детей привычки к трудовому усилию, воспитанию воли, умения преодолевать труд¬ности и находить удовлетворение в их преодолении.
Математика привлекает детей прежде всего тем, что она дает большой интересный и разнообразный мате¬риал для размышлений. Посильная, по относительно бо¬лее трудная задача вызывает у детей значительно больший интерес, чем задача простая, «обыкновенная». Ничто не может в большей мере привлечь внимание детей, заинтересовать их новым материалом, активизи-ровать их работу на уроке, чем если учитель скажет: «Я дам вам сейчас довольно трудную задачу (или при¬мер). Мы таких задач еще не решали. Подумайте, мо¬жет быть, вы сможете в ней разобраться».
Если это так, то значит, что уроки математики мо¬гут стать хорошей школой для воспитания у детей воли, желания и умения преодолевать трудности, вкуса к напряженной умственной деятельности.
Занятия математикой могут быть с успехом исполь¬зованы для воспитания у детей культуры труда. Извест¬но, какие высокие требования предъявляет арифметика к точности вычислений, измерений, четкости формули¬ровок, аккуратности записей. Выполняя те или иные вычисления, дети не раз на собственном опыте убежда¬ются, к каким серьезным ошибкам может привести не¬аккуратность. Стоит только при складывании «столби¬ком» не совсем точно записать одно число под другим или нечетко записать цифру, как это порождает ошиб¬ки. Как бывает досадно ученику, когда при абсолютно правильном ходе решения трудной задачи он получает неправильный ответ только потому, что, например, не¬четко записанную единицу принял при подсчетах за се¬мерку или, решая сложный пример на умножение мно-гозначных чисел, допустил ошибку в сложении только из-за того, что неаккуратно записал число.
Все это создает благоприятные условия для воспи¬тания у детей привычки к чистоте, опрятности, акку¬ратности — привычек, имеющих большое воспитательное значение. Такие навыки необходимы каждому инжене¬ру, архитектору, рабочему — всем, кто встречается в своей деятельности с необходимостью наглядно, ясно, четко изобразить на бумаге с помощью схем, графиков' чертежей, записей результаты своей творческой мысли.
Вычисления и измерения, с которыми детям постоян¬но приходится иметь дело в процессе обучения матема¬тике, могут быть использованы для воспитания у детей чувства ответственности, привычки к точности.
В ходе обучения началам математики открываются возможности для формирования у детей умения прове¬рять себя. Овладение навыками самоконтроля — одна из серьезных воспитательных задач. Систематически предъявляемые детям требования проверки полученно¬го результата должны в конечном счете привести к вы¬работке привычки к самоконтролю, значение которой для любой учебной и трудовой деятельности трудно переоценить.
Помимо самоконтроля очень большое воспитатель¬ное значение имеет систематический и целенаправлен¬ный контроль знаний учащихся со стороны учителя, своевременное оказание индивидуальной помощи детям.
Успешность учебной работы ученика зависит не только от его воли, усидчивости и других 'качеств харак¬тера и ума, но и от уровня усвоения этим учеником учебного предмета, от величины и значимости имею¬щихся пробелов в усвоенных им знаниях. Ученик твер¬до решает восполнить пропущенное, стать успевающим, он напрягает всю свою волю в работе. Но нередко слу-чается, что самостоятельно (или даже с помощью учи¬теля) ему не удается ликвидировать отставание.
Плохо разбираясь в материале, ученик часто выби¬рает самый непродуктивный и трудоемкий путь изуче¬ния с помощью механического зазубривания учебного материала. Конфликт между желанием, целеустремлен-ностью в учебной работе отстающего ученика и низки¬ми результатами может привести к нравственному над¬лому, к потере веры в свои силы и в свою волю, выз¬вать нежелание учиться. Поэтому совершенно необходи¬ма систематичность и непрерывность проверки знаний.
Значение математики в деле развития у детей поз¬навательных способностей является общепризнанным. Математика требует определенности, строгой последова¬тельности, доказательности и убедительности рассужде¬ний. Она не терпит каких-либо отступлений от требований логики, не допускает таких логических ошибок, как поспешное обобщение, необоснованная аналогия (ана-логия, не опирающаяся на необходимый анализ и сравнение сопоставляемых явлений), неполнота класси¬фикации и т. п.
Математика во всех случаях требует исчерпываю¬щей полноты аргументации, при этом точность и лако¬низм — характерные особенности ее стиля.
Мышление, которого требует математика, это мыш¬ление, подчиняющееся законам логики. Вот почему обу¬чение математике дает богатые реальные предпосылки для развития логического мышления учеников, для воспитания у них искусства кратко и точно, ясно и пра¬вильно излагать свои мысли.
Для того чтобы школьники научились делать пра¬вильные умозаключения, выводы из «наблюдаемых фак¬тов, у них должны быть развиты наблюдательность, способность к анализу, сравнению, обобщению, абст-рагированию. В этом отношении математика уже в на¬чальных классах открывает широкие возможности. Од¬нако, чтобы возможности, заложенные в самом учебном материале, были в полной мере использованы в воспи-тательных целях, необходимо создать в процессе обу¬чения соответствующие условия.
Важно, чтобы учитель целеустремленно проводил работу в этом направлении из урока в урок, так как для формирования всякого умения, для развития каких-либо способностей необходимы прежде всего системати¬ческие упражнения.
Так, если мы хотим, чтобы занятия способствовали развитию наблюдательности у детей, чтобы на уроках математики они учились выделять черты сходства и различия в наблюдаемых явлениях, отличать существен¬ное от несущественного, нужно позаботиться о том, что¬бы такого рода задачи постоянно ставились перед деть¬ми на этих уроках и чтобы при этом было обеспечено постепенное возрастание требований к ученикам.
Начиная с первых дней занятий, когда у детей фор¬мируется понятие о числе, важнейшее значение приоб¬ретает наблюдение и сравнение различных совокупнос¬тей предметов, наблюдение и сравнение различных дей¬ствий, производимых с предметными группами, и ре¬зультатов, к которым они приводят. В дальнейшем предметом наблюдения и сравнения должны стать сами числа и арифметические действия.
В опыте работы лучших учителей имеются самые разнообразные приемы, направленные на развитие наб¬людательности у учащихся, обучение их анализу, синте¬зу, сравнению, обобщению, абстрагированию.
Так, уже в I классе при решении первых задач де¬тям предлагается внимательно наблюдать за тем, что будет делать учитель, а затем самостоятельно соста¬вить задачу по этим наблюдениям. Например, учитель показывает детям тарелку, на которой лежат четыре яблока, а затем кладет на тарелку еще одно яблоко. После того как соответствующая задача на сложение составлена и решена, учитель предлагает детям еще раз посмотреть, что он теперь будет делать с яблоками, и составить новую задачу. На этот раз в соответствии с наблюдениями дети составляют задачу на вычитание.
После этого повторяются и первая и вторая задачи и перед учащимися ставится вопрос: «Такая же получи¬лась задача второй раз или другая? Чем она отличает¬ся от первой, почему для решения первой нужно было прибавить, а для решения второй вычитать одно ябло¬ко?»
Богатые возможности заложены в методическом при¬еме составления детьми задач по аналогии, который способствует формированию умения сравнивать и пока¬зывать, что значение того или иного элемента задачи от¬носительно: то, что существенно в одних условиях, мо¬жет стать второстепенным в других.
Наконец, имеется ряд самых разнообразных зада¬ний, специально направленных на проведение детьми сравнения и обобщения.
В программе содержится большой материал для та¬ких заданий во всех классах, однако на практике не всегда придается достаточное значение этой работе. Так, в I классе могут быть даны для сравнения простая и составная задачи, отличающиеся только вопросом. Решив эти задачи, дети должны объяснить, какие раз¬личия в тексте задач приводят к различиям в ходе ре-шения.
Могут быть даны для сопоставления задачи на уве¬личение и уменьшение данного числа на несколько еди¬ниц и др.
В течение всех трех лет начального обучения прог¬раммами и учебниками математики предлагается целая система упражнений, связанных со сравнением выраже¬ний различных видов. Так, начиная с простейших слу¬чаев сравнения чисел (7 и 5; 1 и 2 и т. п.), дети уже в I классе учатся сравнивать выражения вида 7+1 и 7+2; 8-1 и 8-2; 6+5 и 5+6, а далее и еще более слож¬ные для сравнения. (Например, 20—(4+6) и (20—4)+6.) Сравнение этих и других выражений в подобных зада¬ниях без (предварительных вычислений (а задача сос¬тоит именно в этом!) требует не только хорошего зна¬ния соответствующих математических закономерностей, но и развитого умения наблюдать, сравнивать, выделять черты сходства и различия в сравниваемых выражени¬ях, умения подвести наблюдаемые частные факты под известное общее правило.


1.2 Некоторые методы и приемы, используемые при
формировании вычислительных навыков в курсе
математики начальных классов

Рассмотрим особенности использования различных ме¬тодов обучения на разных ступенях работы над учеб¬ным материалом.
При подготовке к изучению нового материала важно обеспечить необходимые предпосылки для успешного усвоения материала всеми учащимися класса. Главное на этой ступени — создать, систематизировать или рас¬ширить опыт детей, который ляжет в основу ознакомле¬ния с новым материалом, воспроизвести те знания, на которые придется опираться при раскрытии нового.
Подготовка к изучению нового осуществляется глав¬ным образом через выполнение учащимися системы уп¬ражнений, т. е. определенных математических заданий (операции над множествами, нахождение значений выражений, сравнение выражений, решение уравнений, за¬дач). Система упражнений на этой ступени определяет¬ся содержанием изучаемого материала и целями его изу¬чения.
При подготовке к ознакомлению с теоретическими знаниями упражнения должны обеспечить создание как бы наглядной модели формируемого знания, понятия, закономерности и др.
Во многих случаях лучшей подготовкой к ознакомле¬нию с теоретическими знаниями оказывается самостоя¬тельное практическое выполнение детьми тех или иных операций над множествами предметов.
Так, прежде чем ознакомиться с действием сложения, учащиеся должны многократно выполнить операцию объединения множеств, не имеющих общих элементов (к 5 кубикам присоединить 1 и узнать, сколько всего кубиков; к 3 шарам присоединить 4 и узнать, сколько всего, и т.д.). Здесь в плане подготовки к ознакомле¬нию с действием сложения важно не нахождение числа элементов объединения, а выполнение операции объеди¬нения (присоединение 1 кубика к 5 и др.), что в даль¬нейшем даст возможность ввести на этой основе дейст¬вие сложения натуральных чисел. Операции с множест¬вами используются в качестве подготовки к раскрытию смысла и других арифметических действий и их свойств.
Чтобы операции над множествами действительно явились основой для дальнейших обобщений, важно соблюдать ряд условий: операции должны выполняться неоднократно; надо выполнять операции над множест¬вами, составленными из различных элементов (в одних случаях — это реальные предметы, в других — изобра¬жение тех или иных предметов и др.); соответствующие упражнения должны выполняться каждым учеником. При этом надо опасаться формирования преждевремен¬ных обобщений, соответствующим образом отбирая материал для практических упражнений и определяя их число с учетом индивидуальных особенностей детей.
Подготовкой к ознакомлению с новым теоретическим материалом является также воспроизведение ранее изу¬ченного материала, который служит для раскрытия но¬вого. Например, для ознакомления первоклассников с переместительным свойством сложения необходимо хо¬рошее знание конкретного смысла действия сложения, названия чисел и результата действия сложения, умение находить результат сложения.
Подготовкой к формированию умений (умение вы¬числять, решать задачи, выполнять измерения, простей¬шие геометрические построения и т. д.) является овла¬дение учащимися соответствующими знаниями по мате¬матике и некоторыми умениями применять эти знания.
Так, подготовкой к формированию у первоклассников умения использовать прием перестановки слагаемых для случаев 1+7; 2+9 и т. д. будет знание ими переместительного свойства сложения и умение использовать его в ситуациях, подводящих учащихся к открытию приема. Например, после рассмотрения примера 8+2 дети сами смогут найти сумму чисел 2 и 8. Здесь они еще не ис-пользуют прием перестановки слагаемых, им предложен пример, отличающийся от только что решенного лишь порядком слагаемых, но подобные упражнения приведут к «открытию» самого приема, если учащиеся сравнят второй пример с первым (слагаемые одинаковые, но пе¬реставлены местами, значит, получим тоже 10).
Знание конкретного смысла арифметических дейст¬вий является подготовкой к формированию умения ре¬шать задачи. Чрезвычайно сложной, но важной и акту¬альной является проблема формирования ряда общих умений, которыми должны овладеть младшие школь¬ники (например, формирование общего умения работы над задачей). В настоящее время эта проблема усилен¬но разрабатывается как теоретически, так и практичес¬ки [4], но многое еще в этом направлении предстоит сде¬лать.
Для формирования навыков при обучении математи¬ке подготовкой служат достаточно сформированные и осознанные умения (например, при формировании вычислительных навыков), а также те навыки, которые включаются в новые в качестве их элементов и доста¬точно отработаны на предыдущих этапах обучения (например, навыки письма, счета и т. д.). Есть еще одна очень важная сторона в подготовке ученика к ус¬воению нового материала — это формирование у него умений выполнять умственные операции: умение вы¬полнять анализ, синтез, сравнивать объекты, выделяя наиболее существенное, выполнять обобщение, отвле¬каясь от несущественного. Работа по формированию уме¬ний выполнять эти умственные операции должна начи¬наться с первых дней обучения детей (в школе и органи¬чески связываться с изучением программного материа¬ла. Особого внимания заслуживает обучение умению сравнивать объекты, так как для сравнения надо выпол¬нять анализ и синтез, а сама операция сравнения лежит в основе обобщения.
Формируя у детей умение сравнивать, полезно больше включать упражнений на сравнение чисел, ма¬тематических выражений, задач, геометрических фигур и т. п. При этом можно использовать такой прием: ска-зать детям, что сначала надо рассказать себе все, что знаешь о сравниваемых выражениях, числах и т. д., а затем сказать, чем они похожи и чем отличаются. Так, при сравнении выражений 6+2 и 2+6 в соответствии с перечисленными заданиями ученик I класса рассужда¬ет: первый пример на сложение, первое слагаемое — 6, второе — 2, сумма — 8; второй пример тоже на сложение, первое слагаемое — 2, второе слагаемое — 6, сумма тоже 8; сходное в примерах: они на сложение, слагаемые оди¬наковые, суммы одинаковые, различное: одинаковые сла¬гаемые находятся в примерах на разных местах.
Сначала подобные рассуждения ведутся под руко¬водством учителя, но постепенно учащиеся овладевают соответствующими умениями. Как показало исследова¬ние, целенаправленная работа по формированию умения сравнивать положительно влияет на интеллектуальное развитие младших школьников.[5]
Таким образом, на подготовительной ступени, выпол¬няя соответствующие практические работы и другие задания учителя (чаще самостоятельно), дети обогаща¬ют свой жизненный опыт.
Существенно важной представляется разработка и ис¬пользование уже на этом этапе таких методов и прие¬мов работы, которые не только актуализируют ранее приобретенные знания, умения и навыки, но предпола¬гают и продуктивную деятельность.
При ознакомлении с новым материалом в зависимости от содержания материала и целей его изучения использу¬ются различные методы. Приведем для иллюстрации еще несколько примеров.
При ознакомлении с теоретическим материалом ти¬па сведений (правила порядка выполнения арифмети¬ческих действий в выражениях, ознакомление с терми¬нами и т. п.), при ознакомлении с некоторыми приемами вычислений (приемов сложения, когда второе слагае¬мое число 2 и т. п.), при инструктаже учеников по ис¬пользованию инструментов (линейки, циркуля и др.) и в других случаях используется метод изложения (объ¬яснения) учителем нового материала. Учитель при этом излагает (объясняет) материал, а учащиеся восприни¬мают его, т. е. приобретают знания в готовом виде, со слов учителя, или наблюдая за его действиями.
Изложение материала должно быть четким, дос¬тупным, непродолжительным во времени. При этом по мере надобности используются разнообразные нагляд¬ные пособия и технические средства обучения.
Например, знакомя с приемом вычитания числа 2, учитель на наборном полотне, а дети у себя на партах выполняют соответствующие операции над множества¬ми. Например, из 6 палочек берут и откладывают по одной 2 палочки, после чего записывают: 6—1—1. Здесь операции над множествами и соответствующая запись являются наглядной основой приема вычисления.
В результате объяснения учителя и выполнения ряда практических операций учащиеся знакомятся с приема¬ми вычислений.
При ознакомлении с математическими понятиями (число, арифметические действия и т. п.), с теоретичес¬кими знаниями типа закономерностей (свойства ариф¬метических действий, связи между компонентами и ре¬зультатами арифметических действий и т.п.) чаще всего используется метод беседы. Беседы (и соответствую¬щая система упражнений) в этом случае строятся так, чтобы они вели детей от частных фактов к общему выводу, к «открытию» той или иной закономерности. Более всего отвечает этой задаче эвристическая беседа.
При ознакомлении с новым материалом индуктив¬ным путем учитель, проведя беседу, предлагает детям ряд упражнений. Учащиеся выполняют их, затем, ана¬лизируя, выделяют существенные стороны формируемо¬го знания, в результате чего делают соответствующий вывод, т. е. обобщение.
Рассмотрим, как можно ознакомить учащихся II класса с переместительным свойством умножения, под¬водя их к выводу индуктивным путем, используя эври¬стическую беседу.
«Разложите квадраты в 3 ряда по 5 квадратов в каждом ряду. Сколько всего квадратов вы положили? Как узнали? (5∙3=15.) Если считать ряды квадратов сверху вниз, то сколько будет квадратов в каждом ряду? (3.) А сколько рядов? (5.) Сколько всего квадратов? (15.) Как узнали? (3∙5=15.) Сравните полученные вы¬ражения. (Это произведения. Множители одинаковые, только переставлены местами, произведения равны.) Почему получили одинаковое число квадратов? (Сос¬читали все квадраты, только считали их по-разному.)»
Далее аналогичным образом находят и сравнивают еще несколько произведений, отличающихся только порядком множителей.
«Чем же сходны все эти пары произведений? (Про¬изведения одинаковые, множители тоже одинаковые, только переставлены местами.) Какой вывод можно сделать? (При перестановке множителей произведение не изменяется.)»
К системе упражнений, которая определяет эффек¬тивное использование метода эвристической беседы при индуктивном пути ознакомления с новыми теоретичес¬кими знаниями, предъявляются определенные требова¬ния.
Система упражнений должна обеспечить наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений очень важно во многих случаях использо¬вать наглядность. При ознакомлении с математическими понятиями и закономерностями в начальных классах часто используют в качестве наглядности не только опе¬рации над множествами предметов, но и записи соот-ветствующих арифметических действий. Так, в приве¬денном примере учащиеся объединили равночисленные множества, затем, найдя разными способами числен¬ность объединения, выполнили запись: 5∙3=15; 3∙5=15. Эта запись явилась наглядной основой для «открытия» ими переместительного свойства умножения.
Упражнения надо подбирать так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого зна¬ния, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть обеспечено достаточное число упражнений, т. е. столько, сколько потребуется, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению.
В рассмотренном примере ознакомления с перемести¬тельным свойством умножения несущественной стороной являются числа, а потому их надо брать в каждой паре произведений различными: 7∙3 и 3∙7; 6∙2 и 2∙6 и т. д. Существенной стороной является то, что в сравнивае¬мых произведениях множители одинаковые, но пере¬ставлены местами. Это должно быть главным при про¬ведении беседы. Если будет сохраняться неизменным какой-либо из несущественных признаков, то учащиеся могут сделать неверное или узкое обобщение. Напри¬мер, в одном из классов при ознакомлении с перемести-тельным свойством умножения учитель предложил для сравнения такие пары выражений: 4∙3 и 3∙4; 5∙3 и 3∙5; 7∙3 и 3∙7. Как видим, здесь оставался неизменным один из множителей, т. е. несущественная сторона фор¬мируемого знания. В результате учащиеся сделали уз¬кое обобщение: можно переставлять местами множители, и произведение не изменится, если один из множите¬лей 3, а другой — любое число.
При ознакомлении с новым материалом, который сходен с уже изученным, возникает такая ситуация, когда предшествующий опыт может оказать как положи¬тельное, так и отрицательное влияние на овладение но¬вым материалом. Если сходство охватывает наиболее существенные стороны рассматриваемых явлений и по¬зволяет опереться на проведшие аналогии, то полезно так подбирать упражнения, чтобы раскрывать новый материал в сопоставлении со сходным, т. е. сравнивать этот новый вопрос со сходным, выделяя существенное сходное. Так, до изучения переместительного свойства умножения следует повторить переместительное свойст¬во сложения. При раскрытии переместительного свой¬ства умножения целесообразно использовать ту же методику, что и при раскрытии переместительного свой¬ства сложения. Опора на аналогию в этом случае быст¬рее приведет к требуемому обобщению,
В других случаях приходится, проводя сравнение нового материала с изученным ранее, выделять в ходе сопоставления не только сходство, но и различие. На¬пример, до ознакомления учащихся II класса с распре-делительным свойством умножения относительно суммы следует повторить свойство прибавления к числу сум¬мы, а после раскрытия нового свойства сравнить его с ранее изученным, установив существенное различие: при прибавлении суммы к числу прибавляют одно из слагаемых, затем к полученному результату прибавляют другое слагаемое; при умножении числа на сумму это число умножают на каждое слагаемое и полученные результаты складывают.
Если такого сравнения не выполнить, то отдельные ученики будут смешивать эти свойства, в результате чего возникнут ошибки вида: 300∙(200+40) =(300+200)+(300+40).
Приемы сопоставления и противопоставления помогают правильному обобщению формируемого знания, предупреждают смешение сходного.
Анализ особенностей учебного материала под углом зрения возможного взаимовлияния ранее приобретенных знаний и вновь формируемых, как было показано выше, накладывает отпечаток как на подбор и систему распо¬ложения соответствующих упражнений, так и на мето¬дику их проведения.
При ознакомлении с вопросами практического ха¬рактера, которые вводятся на основе теоретических зна¬ний, также часто используется эвристическая беседа. Однако здесь система упражнений должна обеспечить дедуктивный путь рассуждения: от общего к частному, подведение частного под общее.
Наибольшую трудность для детей представляет само подведение частного под общее положение. Правильно¬му применению дедукции помогают упражнения в конкретизации (ученики приводят свои примеры на опре-деленное правило или сами подбирают и используют соответствующие средства наглядности), в классифика¬ции (например, когда требуется выписать из данных выражений сначала все суммы, а потом все разности.
В начальных классах при ознакомлении с новым ма¬териалом иногда используется и самостоятельная рабо¬та учащихся. Дети самостоятельно выполняют упраж¬нения и на их основе приходят к нужному выводу. В приобретении знаний, таким образом, используются элементы поисковых методов. Например, составляя неоднократно таблицы умножения (3∙3; 3∙4; 3/5 и т. д.), они замечают, что каждое новое произведение увеличи¬вается на число, равное первому множителю. В даль¬нейшем, при составлении таблиц, они используют это знание.
Чаще метод самостоятельных работ применяется при ознакомлении с вопросами практического характера, когда учащиеся самостоятельно находят на основе по¬лученных знаний новые вычислительные приемы, новые способы решения задач и т. п. Например, после того как первоклассники усвоят свойства вычитания суммы из числа, вычитания числа из суммы, связь между ком¬понентами и результатами действия сложения, десятич¬ный состав двузначных чисел и таблицу сложения, они могут самостоятельно найти три способа вычитания для случая 12—5, рассуждая так:
1) 12 — это сумма чисел 5 и 7, если вычесть 5, то получится 7 (здесь используется знание связи между суммой и слагаемыми и знание табличных случаев сло¬жения);
2) 12—5=12—(2+3)=(12—2)—3=7. Заменю чис¬ло 5 суммой чисел 2 и 3. Чтобы из 12 вычесть эту сум¬му, можно из 12 вычесть 2 и из полученного результата (из 10) вычесть 3, получится 7;
3) 12—5=(10+2)—5=(10—5)+2—7. Заменю чис¬ло 12 суммой его разрядных слагаемых 10 и 2, вычесть из суммы чисел 10 и 2 число 5 можно так: вычесть 5 из первого слагаемого (из 10) и к полученному результату (5) прибавить второе слагаемое (2).
Два последних способа основываются на знании уже изученных свойств действий и знании десятичного сос¬тава чисел.
Самостоятельная работа как метод обучения дает +возможность ученику сознательно и прочно усвоить ма¬териал, проявить умственную активность.
Совершенствование и закрепление знаний, умений и навыков происходят в результате выполнения системы упражнений на применение этих знаний. Эта система упражнений должна удовлетворять ряду требований: упражнения должны постепенно усложняться, обога¬щать формируемое знание, раскрывая новые его сторо¬ны, способствовать установлению связей между новыми и имеющимися знаниями. Рассмотрим систему упражне¬ний на закрепление знания связи между суммой и сла¬гаемыми.
На этапе ознакомления с новыми знаниями учащи¬еся I класса пришли к обобщению: если из суммы двух чисел вычесть первое слагаемое, то получится второе слагаемое, и если вычесть второе слагаемое, то получит¬ся первое.
В дальнейшем предлагаются упражнения на непо¬средственное применение этих знаний:
1. Объясните, как получен второй и третий примеры из первого: 6+3=9; 9—6=3; 9—3=6.
2.
Слагаемое 5 6 8 3 5
Слагаемое 2 2 2 4 4
Сумма

Вычислите суммы. Вычитайте из каждой суммы первое слагаемое. Получилось ли второе слагаемое? Вычитай¬те из каждой суммы второе слагаемое. Получилось ли первое слагаемое?
3. По каждому примеру на сложение составьте по два примера на вычитание: 5+3; 7+1; 2+4; 1+9.
Образец: 7+3=10; 10—7=3; 10—3 = 7.7
Затем ставится цель научить детей использовать знание связи между суммой и слагаемыми для решения простейших уравнений вида: 5+х=9. Учащиеся должны переосмыслить известный им вывод и сформулировать новый: чтобы найти неизвестное второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое. Далее этот новый вывод применяется при выполнении таких упражнений:
1. Найдите неизвестное число: х+2=5; 4+x=7 и т. п.
2. Сумма равна 6, первое слагаемое 1. Найти второе слагаемое.
После изучения связи между компонентами и резуль¬татами других арифметических действий предусматри¬ваются специальные упражнения на противопоставле¬ние. Например, пары уравнений вида: х+6=10; х—6=10. После их решения полезно сравнить как сами уравнения, так и их решения, выявив, что в первом уравнении неизвестное—слагаемое, а во втором — уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают другое слагаемое, а чтобы найти неиз¬вестное уменьшаемое, к разности прибавляют вычитае¬мое. Надо подчеркнуть, что здесь неизвестное находят разными действиями. Позднее выполняется сравнение уравнений, в которых неизвестное находят с помощью одного и того же действия. Например: 10+х=18 и 10—х=8. После решения этих уравнений устанавлива¬ется, что неизвестные слагаемое и вычитаемое находят¬ся действием вычитания.
Подобные упражнения предупреждают часто возни¬кающие неправильные обобщения. Например, после ре¬шения уравнений, в которых требуется найти неизвест¬ное уменьшаемое, учащиеся заключают, что если в уравнении имеется знак «плюс», то неизвестное находят действием вычитания, а если «минус» — то действием сложения. Этим объясняется типичная ошибка в нахож¬дении неизвестного вычитаемого действием вычитания.
Далее знание формируемой связи между суммой и слагаемыми используется для нахождения табличных результатов вычитания по известным результатам сло¬жения. Учащимся предлагаются такие упражнения:
1. Используя числа 5, 3, 8, составьте два примера на сложение и два примера на вычитание так, чтобы одно из этих чисел получилось в результате выполнения арифметических действий над двумя другими (5+3=8; 8—5=3; 8—3=5).
2. Пользуясь примером на сложение, решить пример на вычитание:
4+5=9; 9—5= ;
7+3=10; 10—7= ;
2+6=8; 8—6= .
Приведенные упражнения, при выполнении которых используется знание связи между суммой и слагаемыми, прямо подводят к рассмотрению, приема вычитания, выполняемого на основе знания табличных случаев (например, если надо из 8 вычесть 6, то рассуждаем так: 8 — это сумма чисел и 6 и 2, если из 8 вычесть 6, то по¬лучится 2).
В дальнейшем, переходя от одной темы к другой, учащиеся вновь используют знание установленной ими связи, применяя его в более сложных условиях. Знание связи между суммой и слагаемыми нашло большую сферу применения в начальном курсе математики. В процессе применения оно неоднократно переосмыс¬ливалось, т. е. раскрывались его новые стороны, знание обогащалось.
Наряду с усвоением знаний по математике учащиеся должны овладеть вычислительными, измерительными, графическими умениями и навыками, а также умения¬ми решать задачи. Для формирования этих умений и навыков предлагаются упражнения на вычисления, из¬мерения, построения, разнообразные задачи.
Система упражнений должна удовлетворять опреде¬ленным требованиям. Прежде всего она должна обес¬печить осознанное овладение умениями и навыками. Например, овладевая умением выполнять вычитание для случая 40—16, ученик должен понимать, что снача¬ла он заменяет число 16 суммой разрядных слагаемых 10 и 6, затем вычитает эту сумму из числа 40, для это¬го из 40 вычитает 10 и из полученного результата, из 30, вычитает 6. Однако если на ступени ознакомления с приемом использовалась развернутая запись вида: 40—16=40—(10+6)=(40—110)—6=24, по ходу выпол¬нения которой дети поясняли каждую операцию, то при закреплении умений важно, чтобы выполняемые опера¬ции свертывались. Этим процессом также следует руко-водить. По отношению к только что рассмотренному приему это будет выглядеть так: учитель говорит, что заменять число суммой надо быстро, про себя предста¬вить выражение, а называть только действия над чис¬лами: «из 40 вычесть 10, получится 30, и из 30 вычесть 6, получится 24». Развернутой записи при этом выпол¬нять не следует. Через некоторое время надо сказать детям, чтобы и действия над числами они выполняли про себя. Такие указания учителя помогут перевести объяснения в план внутренней речи; к развернутому объяснению на этой ступени целесообразно вернуться в том случае, если ученик допустит ошибку или когда надо воспроизвести прием, чтобы перенести его на но¬вую область чисел (например, 400—160).
Чтобы сформировать прочные умения и навыки, не¬обходимо детям выполнить достаточное число упражне¬ний и по возможности разнообразного характера. На¬пример, для формирования (вычислительных навыков предлагаются упражнения на нахождение значений не только данных числовых выражений, но и буквенных выражений при данных значениях букв, на заполнение таблиц, на сравнение выражений с последующей про¬веркой путем вычислений, на составление выражений и нахождение их значений и т. д.
Система упражнений должна предусмотреть и здесь сопоставление и противопоставление сходных вопросов, чтобы предупредить их смешение.
При формировании умений и навыков следует широ¬ко использовать метод самостоятельных работ, при этом чрезвычайно полезно предлагать упражнения дифферен¬цированно, учитывая возможности каждого из учащихся.
Из рассмотренных особенностей методики обучения на разных этапах овладения новым учебным материа¬лом видно, что каждый из этих этапов (подготовка к рассмотрению нового, ознакомление с новым и т.п.) ока¬зывается связанным с использованием всех тех основных методов обучения. Вместе с тем роль каждого из них, соотношение между ними в значительной степени меняются в зависи¬мости от конкретной дидактической задачи, решаемой учителем.
Таким образом, различные методы и приемы, используемые при формировании вычислительных навыков, также формируют элементы самоконтроля в процессе учебной деятельности.


1.3 Средства обучения математике в начальных классах,
способствующие формированию навыков самоконтроля

Одним из направлений по формированию навыков самоконтроля при обучении вычислительным операциям является проблема оснаще¬ния процесса обучения средствами обучения, разработ¬ка и использование оборудования уроков математики в начальных классах.
Потребности начальной школы, связанные с совер¬шенствованием содержания обучения, с одной стороны, и большие потенциальные возможности средств обучения, например технических средств, с другой, сделали эту многогранную проблему актуальной. При этом малоразработанными и исключительно актуальными оказались не только сама по себе разработка и совер¬шенствование системы средств обучения, но и исследо¬вание взаимосвязи средств обучения (как компонента математической системы) с остальными ее компонен¬тами, такими, как цели, содержание, методы и формы обучения. Заметим, что под таким углом зрения вопрос о средствах обучения стал рассматриваться только в последнее время под влиянием и в ходе перестройки обучения в школе.[6]
Условимся понимать под учебным оборудованием совокупность объектов любой природы, для которых характерно, что они:
1) представляют или частично замещают изучаемое понятие,
2) дают новую информацию о нем.
Иначе говоря, средства обучения — это совокуп¬ность моделей самой различной природы. В зависимости от способа воспроизведения изучаемого факта, т. е. тех средств, при помощи которых строится модель, разли¬чают материально-предметные (иллюстративные) мо¬дели и идеальные (мысленные) модели. В свою, очередь, материально-предметные модели подразделяются на фи¬зические, предметно-математические (прямой и непрямой аналогии) и пространственно-временные. Среди идеальных моделей различают образные и логико-мате¬матические модели (модели-описания, модели-интерпре¬тации, модели-аналогии).
Рассматривая средства обучения как совокупность либо предметных, либо идеальных моделей, можно по¬лучить их основную классификацию.
К средствам обучения как совокупности, состоящей из материально-предметных моделей, можно отнести приборы, таблицы, диапозитивы, диафильмы и т. п. К средствам обучения, строящимся на идеальных моде¬лях, — учебники «Математика» (I, II, III классы), ди¬дактические материалы, учебные пособия, методические статьи журналов, различного рода рекомендации в по¬мощь учителю и т. п.
Урок как основная форма обучения, представляет собой цепочку последовательных действий учителя и ученика, направленных на сознательное усвоение зна¬ний, умений и навыков. В настоящее время в нем одно из центральных мест отводится той деятельности учи¬теля, которая связана с использованием средств обуче¬ния не только для передачи знаний учащимся, но и организации и управления сторонами учебной деятель¬ности учащихся, и главным образом самостоятельной деятельности, на всех этапах обучения. По данным ис¬следований Н. Ф. Вапняр, А. Т. Катасоновой, Т. Г. Минчук, Н. А. Янковской применена система учебных средств, значительно повышающая эффективность обу¬чения. Функции этих средств обучения многообразны, но в основном они заключаются в том, чтобы помогать раскрывать содержание и объем новых понятий, содей¬ствовать формированию необходимых навыков, быть средством контроля и самоконтроля.
Как результат взаимовлияния конкретных целей и средств обучения на методы обучения можно отметить усиление удельного веса методов, формирующих про¬дуктивные стороны учебной деятельности младших школьников. Так, только применение учебных диафиль¬мов заметно увеличивает роль метода беседы, рассказа-беседы в сравнении с методами репродуктивного действия.
В последнее время в связи с интенсивным примене¬нием различных средств обучения математике происхо¬дит пересмотр принципа наглядности обучения. Этот принцип уточняется с точки зрения марксистско-ленин¬ского положения о единстве конкретного и абстрактно¬го (В. Г. Болтянский, А. М. Пышкало, В. П. Казанский, А. Т. Катасонова и др.).
Рассматривая вопрос о сочетании абстрактного и конкретного, диалектическая логика определяет основ¬ной путь познания математических понятий через абст¬ракцию. Осязаемость, непосредственность, воспринима-емость считаются главными чертами конкретного в ма¬тематике начальной школы. С помощью их абстрактное понятие на том или ином этапе становится конкретным, а конкретное — абстрактным. Так, например, на пер¬вом этапе ознакомления с числом и операциями над числами характерным является переход от действий над конечными (предметными) множествами к опера¬циям над числами, и наоборот. Считая конкретным в познании нечто целое, воспринимаемое в модели, диа¬лектическая логика под абстрактным понимает лишь одну сторону, часть целого, характерное свойство модели.
Формирование любого; математического понятия в начальной школе развивается в форме двух противопо¬ложностей — движения от конкретного к абстрактному и от абстрактного вновь к конкретному. В процессе познания математических фактов конкретное отображается дважды — в начале познания и в конце его. И это не одно и то же конкретное, а поэтому функции дидак-тического принципа наглядности обучения при восхож¬дении от конкретного к абстрактному и при движении от абстрактного к конкретному не одинаковы.
На пути движения от абстрактного к конкретному в начальном обучении конкретное выступает в форме чувственного, осязаемого, непосредственно воспринима¬емого. Назначение наглядных средств обучения в том и состоит на этом этапе, чтобы обучение, математике сделать чувственно-конкретным.
При движении от абстрактного к конкретному роль наглядных средств обучения меняется. Чувственное, осязаемое и непосредственно воспринимаемое может сыграть здесь отрицательную роль, так как конкретное выступает не как чувственное, а как мысленное.
Следуя логике -процесса усвоения знаний на каждом этапе познавательной работы, средства наглядности мо¬гут обеспечить естественный и одновременно закономер¬ный переход от восприятия единичного, конкретного, к общему, абстрактному, и от общего, абстрактного, к единичному конкретному.
Накопление ребенком в начальный период обучения конкретного материала как базы для активной мысли¬тельной деятельности имеет важное значение. Однако это совсем не говорит о том, что наглядное обучение именно в этот период должно быть решающим. В со¬временных условиях значительно ускорился процесс на¬копления детьми конкретных знаний и переход к новым, более сложным процессам познавательной деятельности. А поэтому, если учитель будет ограничиваться лишь процессом наглядности обучения, то он будет задержи¬вать естественное развитие мышления ребенка.
Наглядное обучение должно обеспечивать формиро¬вание у учащихся первичных обобщений и установле¬ние простых связей. Оно должно способствовать углуб¬лению мысли, движению от жизненных наблюдений к сущности изучаемого понятия, от сущности первого по¬рядка к сущности второго порядка и т. п. В решении этих задач неоценимую помощь должен оказать не ка¬кой-нибудь один, а различные виды средств обучения.
При создании и использовании этих средств необхо¬димо прежде всего тщательно определять характер и объем информации, которая должна быть усвоена уча¬щимися. В связи с этим появляется возможность выяс¬нить необходимый вид оборудования, его место и роль на уроке, методику и последовательность в работе с ним.
Средства обучения, в основе которых лежат предмет¬ные математические модели, могут быть использованы при переходе от сущности первого порядка к сущности второго порядка, при восхождении от конкретного к абстрактному. Выбор того или иного средства обучения, правильное согласование его с другими средствами не¬возможны без глубокого понимания особенностей и места применения каждого вида — такого понимания, которое предполагает анализ математической сущности, дидактических требований к средствам обучения в це¬лом и к отдельным их видам.
Самым распространенным видом наглядности явля¬ется чертеж учителя на классной доске. Чертеж созда¬ется на доске учителем постепенно, на глазах учащих¬ся, и этим объясняется высокая эффективность его воз¬действия в процессе обучения. Во время создания чер¬тежа учащиеся получают возможность внимательно сле¬дить за объяснением учителя, пояснениями к чертежу.
В качестве примера можно указать на следующие объекты, реализуемые в форме чертежа на доске во время объяснения: геометрические фигуры, диаграммы, графы, схемы к задачам. Эти виды традиционной наг¬лядности просты в графическом отношении, доступны для восприятия, требуют минимальной затраты време¬ни для их создания.
Например, для выполнения задания 740 («Матема¬тика», III кл., 1972), начертив на доске отрезок, учи¬тель поясняет, что этот отрезок изображает путь в 5 км. Затем он чертит отрезок 1, показывая на чертеже не¬большими отметками, сколько отрезков, изображающих 5 км, укладывается в этом отрезке. Можно поставить вопросы классу: какой длины путь изображает отрезок 1? Как определить, какой длины путь изображает в этом масштабе отрезок 2? Учитель чертит отрезок 2 на доске без нанесения меток. После ответа ученика на поставлен¬ный вопрос учитель предлагает нанести метки на отре¬зок и ответить на поставленный вопрос. После такой подготовительной работы учащиеся без особого затруд¬нения выполняют последнюю часть задания: «Начер¬тите в тетради отрезок, изображающий путь в 15 км».
При решении задачи 336 («Математика», III кл., 1972) можно во время чтения ее текста создать чертеж, изображенный на рисунке. Чертеж поможет найти и реализовать разные способы решения этой задачи.
В последнее время на уроках математики в началь¬ной школе широкое применение получили пособия-ап¬пликации (таблицы с подвижными и сменными дета¬лями), укрепляемыми на вертикальной плоскости с по¬мощью магнитных держателей или другими способами (фланелеграф).
Тот факт, что учащиеся имеют возможность участ¬вовать в создании аппликации, делает учебную работу более интересной, активной и продуктивной. Например, на магнитной доске можно укрепить многоугольники и поставить перед классом такие задания: «Выделить из множества многоугольников множество треугольников (показать треугольники)», «Показать равные треуголь¬ники», «Среди треугольников показать треугольники, у которых стороны равны между собой». В отличие от аналогичной работы с плакатом в этом случае имеется возможность переставлять, по-иному группировать рас¬сматриваемые фигуры.
Другим видом традиционной наглядности является учебная таблица. Применение таблиц приносит большой педагогический эффект в том случае, когда демонстра¬ция их связана не только с объяснением учителя, но и с организацией самостоятельной работы, а также сооб¬щением справочного материала. Например, таблица разрядов и классов в теме «Нумерация многозначных чисел» должна быть перед глазами учащихся во время изучения этой темы почти на всех уроках, длительное время используются и таблицы сложения и умножения однозначных чисел.
Среди технических средств обучения математике в связи с переходом на новую программу обучения мате¬матике в начальных классах все большую роль стали играть экранные средства, применяемые с по¬мощью кинопроекторов, диапроекторов, эпипроекторов, шрайбпроекторов — кодоскопов. Эти проекторы и кодоскопы позволяют во многом заменить использование мела и классной доски в ходе изложения (объяснения) учителем нового материала, что неизбежно влияет на выбор методов обучения. Их применение позволяет бо¬лее полно реализовать индивидуальные творческие воз¬можности учителя, а также более широкие возможности использования (готового изографического и печатного материала учебника и других пособий.
Кинопроекторы и диапроекторы позволяют приме¬нять на уроках математики готовые (издаваемые мас¬совым тиражом) кинофильмы — кинофрагменты, диа¬фильмы, диапозитивы. По своим дидактическим качествам эти учебные пособия существенно отличаются. Ес¬ли, например, кинофильм (диафильм), как правило, посвящен рассмотрению определенного (одного и более) вполне законченного вопроса (например, сравнения чи¬сел в I классе) и учитель вынужден принять последо¬вательность и логику изложения, предписанные авто¬ром, то диапозитивы (отдельные, рассыпанные кадры) дают возможность в большей степени использовать творческие возможности каждого учителя.
Не вдаваясь в детальную, техническую характери¬стику каждого из видов экранных пособий, остановим¬ся кратко на основных общих вопросах методики их применения.
Особое распространение среди различных видов учебного оборудования занимают диафильмы. Учебные диафильмы представляют одно из новых средств обу¬чения математике в начальной школе.
Для начальной школы выпускают главным образом цветные диафильмы, которые помогают лучшему усвое¬нию материала, активизируют познавательную дея¬тельность школьников на уроке.
Учебные диафильмы в начальной школе могут быть использованы в процессе знакомства с новой темой, при закреплении учебного материала и при опросе учащихся.
Используя систему упражнений, данную в учебном диафильме, учитель сможет значительно разнообразить и оживить учебную работу (кадры диафильма можно демонстрировать с различной скоростью,, приспособив ее к особенностям класса).
Некоторые диафильмы применяются отдельными фрагментами (или кадрами) на протяжении всего учеб¬ного года по мере изучения соответствующих разделов программы. По усмотрению учителя фрагменты и от¬дельные кадры диафильма могут быть применены в ходе ознакомления с новым материалом, для закрепления и «повторения пройденного материала или, наоборот, для опроса учащихся и проведения контрольных работ. Опыт показал, что одновременный просмотр всего диа¬фильма (например, для повторения темы или раздела) в методическом отношении не оправдан.
Полезно сочетать диафильм с использованием дру¬гих учебных пособий (прибор, чертежи на доске, таб¬лицы).
Диапозитивы являются эффективным дидактическим подобием (в виде заданий, вопросов, задач, табличного материала), позволяющим организовать активное обу¬чение на всех его этапах (проведение самостоятельных работ, опроса, контрольных работ и т. д.), особенно в связи с решением задач.
Отдельные кадры или группы кадров серии диапози¬тивов, отобранные для урока, могут либо представлять собой основной материал, на котором строится весь урок (или его часть), либо играть вспомогательную роль (в последнем случае диапозитивы используют наряду с другими средствами обучения — таблицами, моделями, диафильмами и кинофильмами).
Большие возможности открывает применение клас¬сной доски со светлым (лучше серо-зеленым) покры¬тием. Такая доска одновременно может служить экра¬ном. Проекция непосредственно на классную доску рас¬ширяет дидактические возможности экранных средств. Это позволяет, например, прямо на изображении выпол¬нять построения белым и цветным мелом (дополнитель¬ные построения, введение обозначений, числовых дан¬ных и т. д.).
Экспериментальные исследования возможностей по применению в обучении математике расширенного, по сравнению с традиционным, набора учебных средств свидетельствует о том, что их комплексное использова--ние создает предпосылки для повышения эффективности урока даже в условиях использования далеко не опти¬мального учебного комплекса, имеющегося в распоря¬жении учителя. Приведем только один пример. Для вы¬яснения дидактических возможностей кинофрагментов при обучении младших школьников математике применялся незнакомый, но доступный третьеклассникам материал, связанный с первоначальным ознакомлением детей с прямоугольным параллелепипедом. Для этого использовались кинофрагмент, в котором демонстрировал¬ся прямоугольный параллелепипед и его элементы, и деревянная модель параллелепипеда.
Демонстрация кинофрагмента длится 5 минут. За это время учащиеся наблюдают в разных ракурсах «полупрозрачное» изображение прямоугольного параллеле¬пипеда (им сообщается: «это прямоугольный паралле¬лепипед»), поочередно высвечиваются (вспыхивают) его грани (сообщается: «это грани параллелепипеда»), за¬тем поочередно вспыхивают ребра («это ребра паралле¬лепипеда») и наконец высвечиваются поочередно его вершины («это вершины»).
В эксперименте приняли участие четыре третьих класса одной и той же школы. В двух из них по одному разу продемонстрировали кинофрагмент, в двух дру¬гих — учителя (в течение 15 минут), пользуясь дере¬вянной моделью прямоугольного параллелепипеда, не¬посредственно показывали и называли (в том же по¬рядке, что и в кинофрагменте) все его элементы. После этого учащиеся письменно отвечали на вопросы: как на¬зывается предмет, который вам показали? Сколько у него граней? Ребер? Вершин?
На следующий день (с соблюдением указанных усло¬вий) в классах, где демонстрировалась модель, был показан кияофрагмент, а в классе, где был показан кинофрагмент, — модель. После этого учащимся было предложено ответить на те же вопросы.
Анализ результатов показывает, что после первого опыта заметно большего успеха достигли учащиеся, просмотревшие кинофрагмент. После второго опыта в обоих сравниваемых группах результаты возросли, но сохранилось преимущество, достигнутое первой группой. Опыт убедительно показывает эффективность экранных динамических средств, которые еще не находят приме¬нения в массовом обучении младших школьников мате¬матике.
Сейчас делаются первые попытки разработать кино¬фильмы (в виде кинофрагментов) для уроков математи¬ки в начальных классах. Продолжительность демонстрации каждого фрагмента не более 3 минут. Фрагменты могут быть использованы при первоначальном ознакомлении учащихся с рассматриваемыми в них вопросами я при уточнении и закреплении уже изученного материала. Можно использовать их и для проверки знаний — уст¬ного опроса. С этой целью соответствующий фрагмент демонстрируется без звукового сопровождения (диктор¬ский текст выключается), а ученик комментирует изоб¬ражение.
Подготовку к использованию экранных учебных посо¬бий следует начинать с тщательного ознакомления с их содержанием. Причем личный просмотр учителем из¬бранного экранного пособия позволит наиболее точно наметить план урока, на котором оно будет использо¬вано. Во время просмотра кинофрагмента, диафильма или серии, диапозитивов учитель знакомится не только с их содержанием, но и (что является не менее важным, особенно для кинофрагментов) с темпом раскрытия со¬держания изучаемых фактов. Особенно тщательно дол¬жны быть изучены вопросы и задачи, которые ставятся учащимся, (с экрана).
Подготовка позволяет:
1. Определить место и время демонстрации пособия или его фрагмента на уроке.
2. Наметить места остановок для проведения беседы, практической работы, решения, задачи или опроса. На¬метить места, в которых могут быть применены ,и дру¬гие учебные пособия (таблицы, модели и т. д.).
3. Наметить места, когда следует давать дополни¬тельное объяснение в ходе демонстрации экранного по¬собия и содержание этих объяснений.
4. Определить виды учебных средств, применяемых совместно с экранным пособием.
5. Наметить содержание учебной работы в классе и дома, предшествующей демонстрации экранного посо¬бия, в ходе этой демонстрации и после завершения де¬монстрации.
Разработка средств обучения весьма актуальная, многогранная педагогическая проблема дальнейшего совершенствования обучения и воспитания в началь¬ной школе.
Дальнейшие поиски путей совершенствования средств обучения немыслимы в отрыве от исследования содер¬жания, методов и форм обучения и, что весьма важно, без знания содержания и характера связей между все¬ми компонентами методической системы обучения мате¬матике младших школьников.
Большое внимание уделяется рассмотрению тех видов средств обучения, которые по¬ка еще только завоевывают себе место в практике со¬временной массовой школы (диафильмы, диапозитивы и др.). Одной из наиболее актуальных задач методики является разработка путей их эффективного применения в процессе обучения математике. Не вызывает сомнения, что они могут оказать серьезное положительное влияние, на улучшение постановки самостоятельной работы уча¬щихся, не говоря уже о том значении, которое имеет их применение для совершенствования объяснения нового учебного материала. Особую ценность такие пособия имеют в условиях малокомплектной школы, где при уме¬лом использовании они могут открыть новые возможнос¬ти для организации самостоятельных работ с одним из классов и даже одновременной работы учащихся по разным заданиям (с использованием диаскопов индиви¬дуального пользования и других несложных приспособ¬лений).


1.4 Выводы
Итак, самоконтроль сам по себе не возникает. Это свойство мыслительных процессов, которые формируются у учащихся системой работы учителя. Она состоит из следующих взаимосвязанных компонен¬тов: постановка целей, отбор педагогических средств, их при¬менение (собственно ход процесса обучения), оценка хода, ре¬зультатов процесса обучения и его корректировка.
Взаимосвязь компонентов системы обеспечивает развитие репродуктивных и продуктивных умений учиться.
Изменение одного из компонентов системы влечет за собой изменение других. Развитие всей системы происходит в соот¬ветствии с развитием формируемых качеств. По мере развития умений изменяются цели, педагогические средства (содержание, методы, организационные формы, методы воздействия классно¬го коллектива и учителя на учащихся, технические средства обучения и т. д.). Это ведет к изменениям в самом процессе обучения, в контроле за его течением.
Развитие системы, ее динамику можно охарактеризовать с помощью понятия «состояние». Функционирование обучения вы¬ражается в цепи переходов системы из одного состояния в дру¬гое до тех пор, пока не наступит такое, которое удовлетворит за¬данным целям. Например, учитель проводит серию упражнений по решению задач до тех пор, пока не убедится, что сформи¬ровано умение определенного уровня развития. Организуемая при этом деятельность учащихся может быть представлена в виде последовательности учебных действий, управление которы¬ми осуществляется с учетом взаимосвязи уровней развития уме¬ний и мотивов.
Переход умения на более высокий уровень развития требу¬ет изменений системы работы учителя. Здесь важно, чтобы при¬меняемые педагогические средства были бы соответствующими уровням развития у школьников умений учиться во взаимосвя¬зи с мотивами учебных действий.
Совершенствование умений репродуктивной и продуктивной познавательной деятельности является сложным процессом. Развитие умений за период обучения в школе осуществляется от низших к более высоким уровням. С другой стороны, этот же процесс представляет собой постепенное изменение соотноше¬ния между репродуктивными и продуктивными умениями, кото¬рое зависит от возраста учащихся и особенностей обучения. По мере развития продуктивных умений повышается их роль в обу¬чении, но при этом совершенствуются и репродуктивные уме¬ния. Это соответствует диалектической взаимосвязи между вос¬производящими и творческими компонентами мышления уча¬щихся.
В начальной школе, по мере того как происходит развитие аналитико-синтетической деятельности мозга учащихся в на¬правлении от наглядно-действенного к абстрактно-умственному анализу, возникает возможность уделить все большее внимание организации продуктивной познавательной деятельности детей. Следовательно, в начальных классах имеется возможность обу¬чать школьников как умениям репродуктивной, так и продук¬тивной познавательной деятельности. Хотя роль продуктивных умений повышается в обучении по мере развития учащихся, преобладают здесь репродуктивные умения. Формирующиеся у младших школьников умения продуктивной познавательной дея¬тельности создают необходимую основу для формирования самоконтроля, для овладения более сложными вычислительными операциями в дальнейшем.


2 Практическая часть
2.1 Сравнительная динамика формирования навыков самоконтроля посредством развития умственных способностей детей экспериментальной и контрольной групп

Целенаправленное формирование системы навыков самоконтроля начинается с дошкольного возраста, т.е. с детского сада.
Одной из задач данного исследования являлось выявление осо¬бенностей влияния образовательной работы на развитие познава¬тельных способностей детей дошкольного возраста. В течение четы¬рех лет (от второй младшей до подготовительной к школе группы) проводились психологические обследования (I—V), направленные на определение уровня овладения детьми знаковыми и символичес¬кими средствами при решении задач продуктивного и репродуктив¬ного характера. В эксперименте участвовали две группы детей. С де¬тьми первой, экспериментальной, группы велась образовательная работа по программе «Развитие». В другой группе, контрольной, ра¬бота с детьми осуществлялась на основе Типовой программы воспи¬тания в детском саду (под ред. М.А.Васильевой).
Результаты исследования позволяют проследить как возрастные изменения в развитии способностей так и изменения, которые связа¬ны с особенностями образовательной работы, проводившейся с до¬школьниками в контрольной и экспериментальной группах.
Анализ проводился по средним (по группе) показателям уровня выполнения детьми задач разного типа: репродуктивных субъектно- и объектноориентированных и продуктивных субъектно- и объектноориентированных.
Первое (I) обследование проводилось с детьми второй младшей груп¬пы в начале учебного года до начала образовательной работы. Использо¬вались методики, направленные на определение уровня овладения:
— знаковыми средствами при решении репродуктивных задач (РО): «Мисочки», «Коробка форм», «Схематизация», «Опре¬деление»;
— символическими средствами при решении репродуктивных задач (PC): «Символизация»;
— знаковыми средствами при решении продуктивных задач (ПО): «Дорисовывание фигуры».
Творческие задания, требующие использования символических средств (методика «Пиктограмма»), детям начала четвертого года жизни оказались недоступны. Поэтому в первом обследовании от¬сутствуют результаты выполнения продуктивных субъектноориентированных задач.
Результаты первого обследования выявили начальный уро¬вень развития детей контрольной (к) и экспериментальной (э) групп (см. рис. 1 в приложении).
Группы значительно различаются по уровню решения продук¬тивных объектноориентированных задач — Э — 1,4; К — 2,4. Это послужило основанием для выделения экспериментальной и кон¬трольной групп. Показатели решения репродуктивных задач в обеих группах близки и соответствуют уровню ниже среднего: РОэ – 1,7; РОк – 1,8; и РСэ – 1,6; РСк – 1,6.
Как показывают результаты, соотношение уровней овладения различными средствами при решении задач репродуктивного ха¬рактера в обеих группах сходно — к началу младшей группы дети чуть лучше владеют знаковыми средствами, чем символическими. Если учитывать результаты апробации методики «Пиктограмма» в этом возрасте, то можно говорить о таком же соотношении уров¬ней овладения знаковыми и символическими средствами и при решении творческих задач.
Таким образом, результаты первого обследования позволили определить не только различия между группами детей, но и общее в развитии их способностей. Возрастными особенностями разви¬тия способностей у младших дошкольников определяется более высокий уровень овладения знаковыми средствами и отставание в овладении символическими средствами при решении репродуктивных и продуктивных задач.
Второе (II) обследование проводилось в конце второй младшей группы, после первого года образовательной работы, с деть¬ми контрольной и экспериментальной групп. Во время исследо¬вания использовались методики, направленные на определение уровня овладения:
— знаковыми средствами при решении репродуктивных за¬дач (РО): «Мисочки», «Коробка форм», «Схематизация», «Определение»;
— символическими .средствами при решении репродуктив¬ных задач (PC): «Символизация», «Пиктограмма» (оцени¬валась по количеству адекватных ответов);
— знаковыми средствами при решении продуктивных задач (ПО): «Дорисовывание фигур»;
— символическими средствами при решении продуктивных задач (ПС): «Пиктограмма» (оценивалась оригинальность адекватных ответов).
Как показывают результаты этого обследования (см. рис. 2 в приложении), дети экспериментальной группы стали успешнее своих сверстников из контрольной группы в решении значительного числа предложенных задач: РСэ – 2,3 и РСк – 1,8; РОэ – 2,2 и РОк – 2,0. Выше по¬казатели решения детьми экспериментальной группы новых задач, выявляющих уровень овладения символическими средствами в ре¬шении продуктивных задач: ПСэ – 1,8 и ПСк – 1,5. Лишь средний показатель выполнения продуктивных объектных задач несколько выше в контрольной группе: ПОэ – 1,9 и ПОк – 2,0.
Однако разница в показателях по творческим объектным зада¬чам по сравнению с первым обследованием значительно умень¬шилась (на 0,9).
Через год образовательной работы дети экспериментальной группы стали более успешны в выполнении задач разного харак¬тера с использованием знаковых и символических средств. При этом изменения в соотношении средних показателей решения за¬дач разного типа произошли в обеих группах (см. рис. 3).
И в экспериментальной, и в контрольной группах показатели успешности выполнения заданий репродуктивного типа выросли: РОэ – увеличение на 0,5 и РОк – на 0,2; РСэ – на 0,7 и РСк – на 0,2. Однако в экспериментальной группе эти изменения более значительны: в процентном соотношении успешность выполне¬ния репродуктивных задач детьми экспериментальной группы выросла в среднем на 29% (РО) и на 44% (PC), а в контрольной группе соответственно на 11% и 13%.
Изменения наблюдаются в показателях успешности решения продуктивных объектных задач: ПОэ – увеличение на 0,5, а ПОк –уменьшение на 0,4. Т.е. в контрольной группе снизилась успеш¬ность решения творческих задач с использованием знаковых средств, а средний показатель в экспериментальной группе по уровню решения задач такого типа вырос.
Эти изменения привели к иному соотношению средних пока¬зателей решения задач разного типа. Дети экспериментальной группы стали более успешными в методиках, направленных на выявление уровня овладения символическими средствами, чем знаковыми, при выполнении репродуктивных заданий. В кон¬трольной группе соотношение этих показателей (РО и PC) оста-лось прежним.
В контрольной группе снижение уровня выполнения продук¬тивных объектных заданий привело к тому, что решение как ре¬продуктивных, так и творческих задач с использованием знако¬вых средств осуществлялось детьми на одном уровне.
Вместе с описанными изменениями дети обеих групп в целом более успешно выполняют задания репродуктивного типа с ис¬пользованием различных (знаковых или символических) средств.
Таким образом, после года образовательной работы в контроль¬ной и экспериментальной группах произошли изменения, связан¬ные как с возрастными особенностями развития способностей, так и с особенностями образовательной работы в этих группах.
На четвертом году жизни дети начинают активно осваивать знаковые и символические средства. В обеих группах отмечается рост показателей решения репродуктивных задач. В контрольной группе происходит (не так успешно, как в экспериментальной) овладение символическими средствами, хотя специальные зада¬ния в образовательной работе с детьми этой группы отсутствуют.
Больший рост показателей овладения знаковыми и символичес¬кими средствами детьми экспериментальной группы, очевидно, свя¬зан с особенностями образовательной работы по программе «Разви¬тие». Включение в образовательную работу заданий разного характера дает возможность детям осваивать знаковые и символиче¬ские средства и успешно использовать их при решении репродуктив¬ных и творческих задач. При этом овладение символическими сред¬ствами немного опережает овладение знаковыми средствами.
В контрольной же группе в образовательной работе преобла¬дают задания репродуктивного характера, что отразилось на соот¬ношении показателей выполнения заданий разного типа: в целом показатели выполнения продуктивных заданий ниже. За год меж¬ду первым и вторым обследованиями снизился уровень решения творческих задач, хотя именно успешность выполнения заданий этого характера отличало детей контрольной группы в начале экс¬перимента; видимо, дошкольники этой группы не получили воз-можности развития этих способностей.
Третье (III) обследование проводилось в конце средней группы, после второго года образовательной работы. В исследовании ис¬пользовались методики для детей данного возраста, направленные на определение уровня овладения:
— знаковыми средствами при решении репродуктивных задач (РО): «Эталоны», «Рыбка», «Определение»;
— символическими средствами при решении репродуктивных задач (PC): «Символизация», «Пиктограмма» (оценка по ко¬личеству адекватных ответов);
— знаковыми средствами при решении продуктивных задач (ПО): «Дорисовывание фигур»;
— символическими средствами при решении продуктивных за¬дач (ПС): «Пиктограмма» (оценка оригинальности адекват¬ных ответов).
По результатам третьего обследования выполнение объект-ноориентированных задач разного типа в обеих группах находятся практически на одном уровне: РОэ и РОк – 2,2; ПОэ – 2,1 и ПОк – 2,2 (см. рис. 4). Различаются группы по успешности в выполнении заданий, выявляющих уровень овладения символическими средст¬вами: РСэ – 2,3 и РСк – 2; ПСэ – 1,8 и ПСк – 1,3.
В экспериментальной группе показатели успешности решения детьми репродуктивных задач не изменились: РО – 2,2 и PC – 2,3 (см. рис. 5). Средний балл по методике, направленной на опреде¬ление уровня овладения символическими средствами при решении творческих задач, остался тем же (ПС – 1,8). Более успешны дети этой группы стали лишь при выполнении продуктивных объектных заданий: ПО – 2,1 (увеличение на 0,2).
В контрольной группе изменения коснулись всех показателей: РО – 2,2 (увеличение на 0,2); PC – 2,0 (увеличение на 0,2); ПО – 2,2 (увеличение на 0,2); ПС – 1,3 (уменьшение на 0,2).
Второй год образовательной работы не внес изменений в соотно¬шение показателей выполнения детьми задач разного характера. По результатам третьего обследования все дети успешнее при выполне¬нии репродуктивных заданий, но уровень овладения символически¬ми средствами в целом выше в экспериментальной группе, что объ¬ясняется особенностями построения образовательной работы.
Таким образом, у детей экспериментальной группы сохра¬нился прежний уровень успешности выполнения репродуктив¬ных и продуктивных субъектных заданий, а уровень овладения знаковыми средствами при решении продуктивных задач вырос. Вероятно, это связано с началом освоения детьми средней груп¬пы новых знаковых средств — наглядных моделей и переходом в творческих заданиях от создания образов отдельных предметов к их детализации.
В контрольной же группе наблюдается повышение показателей ре¬шения репродуктивных и продуктивных объектных задач, но успешность использования символических средств в творческих заданиях снизилась. Отсутствие в образовательной работе в контрольной группе такой задачи, как освоение детьми средств символизации, позволяет предположить, что овладение этими средствами протекает стихийно и отсутствует воз¬можность использования этих средств в творческих заданиях.
Различия в образовательных программах и возрастные особенно¬сти нашли свое отражение в результатах трех первых обследований. Если проследить изменения показателей выполнения детьми диагно¬стических заданий (см. рис. 6), то можно выявить определенную ди¬намику овладения знаковыми и символическими средствами при ре¬шении познавательных задач детьми двух групп за два года,
В экспериментальной группе в период между первым и вторым обследованиями наблюдается значительный рост успешности вы¬полнения всех типов заданий, а в средней группе — период стабиль¬ности: показатели решения репродуктивных задач и продуктивных субъектных не изменяются, но несколько возрастает уровень овладе¬ния знаковыми средствами при решении продуктивных задач.
Дети контрольной группы в течение двух лет постоянно улучшали ре-зультаты выполнения репродуктивных заданий, выявляющих уровень ов-ладения средствами разного типа. Если овладение знаковыми средствами в определенной мере было включено в образовательную работу в кон¬трольной группе, то освоение символических средств проходило стихийно, т.к. не предполагалось программой обучения. Большая ориентирован¬ность образовательной работы в контрольной группе на репродуктивные задачи отражается в выполнении детьми творческих заданий: за первый год наблюдается снижение уровня решения задач такого типа, а за второй — успешность использования знаковых средств в творческих заданиях не¬сколько повысилась, но не достигла начального уровня, показатели же выполнения продуктивных субъектных заданий — снизились.
Таким образом, сравнение результатов, полученных детьми обе¬их групп в трех обследованиях, позволяют выделить некоторые осо¬бенности выполнения различных типов задач, которые имеют воз¬растной характер. Это, во-первых, то, что дошкольники в начале младшей и к концу средней группы более успешны в выполнении за¬даний репродуктивного характера. Во-вторых, овладение средства¬ми символизации является возрастной особенностью младших до¬школьников, что, безусловно, нельзя не учитывать при построении образовательной работы с детьми этого возраста.
Кроме этого, анализ данных трех обследований проявил особен¬ности развития умственных способностей в зависимости от образова¬тельной работы, проводимой с дошкольниками. Организация освое¬ния мыслительных средств в соответствии с программой «Развитие» делает этот процесс планомерным и «плавным», что проявляется в по¬стоянном повышении показателей овладения детьми эксперимен¬тальной группы знаковыми и символическими средствами и исполь¬зовании их при решении задач репродуктивного и продуктивного характера. К концу средней группы намечается тенденция к «вырав¬ниванию» показателей уровня овладения знаковыми и символически¬ми средствами при решении задач разного характера.
Четвертое (IV) обследование проводилось с детьми в конце стар¬шей группы. Использовались методики для детей шестого года жиз¬ни, направленные на определение уровня овладения:
— знаковыми средствами при решении репродуктивных задач (РО): «Эталоны», «Перцептивное моделирование», «Схема¬тизация», «Систематизация», «Словарь» и «Понятливость»;
— символическими средствами при решении репродуктивных задач (PC): «Пиктограмма» (оценивалась по количеству адекватных ответов);
— знаковыми средствами при решении продуктивных задач (ПО): «Дорисовывание фигур» и «Сочинение сказки»;
— символическими средствами при решении продуктивных за¬дач (ПС): «Пиктограмма» (оценивалась оригинальность адекватных ответов).
Результаты IV обследования отражают изменения в ходе разви¬тия способностей детей экспериментальной и контрольной групп, происшедшие к концу старшей группы (рис. 7).
По результатам четвертого обследования экспериментальная группа успешнее, чем контрольная, в решении задач разного типа. Значительно выше у детей этой группы показатели выполнения ре¬продуктивных субъектных задач: РСэ – 2,3 и РСк – 1,4. Показатели по результатам решения продуктивных субъектных и репродуктивных объектных задач близки в обеих группах: ПСэ – 2 и ПСк – 1,9; РОэ – 2 и РОк – 1,8. Результаты выполнения продуктивных объект¬ных задач различаются несколько больше: ПОэ – 1,9 и ПОк – 1,6.
Изменения в соотношении показателей овладения детьми экс-периментальной группы знаковыми и символическими средствами при решении задач разного типа, которые произошли за третий год образовательной работы, отражены на рис. 8. Показатели успешно¬сти выполнения репродуктивных объектных и продуктивных объ¬ектных задач снизились: РО на 0,2; ПО – на 0,2. Успешность выпол¬нения продуктивных субъектных задач, наоборот, выросла: ПС – увеличение на 0,2. Не изменились показатели выполнения репро¬дуктивных субъектных задач: PC – 2,3.
В контрольной группе (рис. 9) снизились три показателя: РО — уменьшение на 0,4; PC – уменьшение на 0,6; ПО – уменьшение на 0,6. Вырос лишь показатель успешности выполнения продуктивных субъектных задач: ПС – увеличение на 0,1.
Таким образом, наблюдаются аналогичные изменения в кон¬трольной и экспериментальной группах от III к IV обследованию по трем показателям. К концу старшей группы у детей снизились пока¬затели выполнения задач репродуктивного и продуктивного типа с использованием знаковых средств (РО и ПО). Только в эксперимен¬тальной группе эти изменения меньшие, чем в контрольной: в экспериментальной — на 0,2, а в контрольной — на 0.4 и 0,6. В обеих группах вырос показатель выполнения продуктивных задач с ис-пользованием символических средств (ПС), но в эксперименталь¬ной группе эти изменения (на 0,2) несколько превышают изменения в контрольной (0,1).
Различаются группы по результатам выполнения репродуктив¬ных субъектных задач (PC). Уровень выполнения детьми экспери¬ментальной группы заданий этого типа остался тем же, что и в кон¬це средней группы (III обследование). Дети контрольной группы были менее успешны: показатель снизился на 0,6.
Очевидно, что снижение показателей по объективноориентированным заданиям можно отнести к возрастным особенностям в ов¬ладении знаковыми средствами. Но снижение в экспериментальной группе меньшее, вероятно, благодаря особенностям образовательной работы, насыщенности программы «Развитие» заданиями различно¬го типа. С этим, очевидно, связано и то, что по репродуктивным субъектным заданиям показатели стабильны в экспериментальной группе. На фоне таких изменений в обеих группах есть небольшой рост показателя выполнения продуктивных заданий, в которых дети используют символические средства. Таким образом, к концу стар¬шей группы у дошкольников происходит некоторое снижение уров¬ня овладения знаковыми и символическими средствами, а успеш¬ность использования символических средств в творческих заданиях возрастает. Лишь образовательная работа может «сдержать» сниже¬ние показателей.
В конце подготовительной группы было проведено пятое обсле¬дование, включающее в себя методики, направленные на определе¬ние уровня овладения:
— знаковыми средствами при решении репродуктивных задач (РО): стандартизованные методики «Этапоны», «Перцептив¬ное моделирование», «Схематизация», «Систематизация»; «Словарь» и «Понятливость»;
— символическими средствами при решении репродуктивных задач (PC): «Пиктограмма» (оценивалось количество адек¬ватных ответов);
— знаковыми средствами при решении продуктивных задач (ПО): «Дорисовывание фигур» и «Сочинение сказки»;
— символическими средствами при решении продуктивных за¬дач (ПС): «Пиктограмма» (оценивалась оригинальность адекватных ответов).
Результаты V обследования отражают изменения, происшедшие в развитии познавательных способностей детей экспериментальной и контрольной групп к концу подготовительной группы (см. рис. 10).
Дети экспериментальной группы успешнее детей контрольной при решении большего числа задач: объектноориентированных и субъектных творческих. При этом разность в показателях состав¬ляет 0,2—0,3. Лишь в репродуктивных символических заданиях дети контрольной группы стали намного успешнее, чем эксперименталь¬ной: РСэ – 1,2 и РСк – 1,9.
Результаты пятого обследования показывают, что в обеих груп¬пах произошли изменения в соотношении показателей.
В экспериментальной группе (см. рис. 11) отмечается незначи¬тельное повышение показателей выполнения репродуктивных и продуктивных заданий, выявляющих уровень овладения знаковыми средствами (РО – увеличение на 0,2; ПО – увеличение на 0,3). Ус¬пешность решения заданий репродуктивного типа, выявляющих уровень овладения символическими средствами, значительно сни¬зилась в экспериментальной группе (уменьшение PC на 1,1). При этом уровень выполнения продуктивных субъектноориентирован-ных заданий не изменился.
Изменилось соотношение основных показателей и в контроль¬ной группе (рис. 12). Дети этой группы стали более успешны в зада¬чах репродуктивного характера: увеличение РО на 0,1 и PC – на 0,5. Выросли показатели выполнения продуктивных заданий, выявляю¬щих уровень овладения знаковыми средствами (увеличение ПО на 0,4). Дети стали менее успешны лишь в продуктивных субъектных задачах (уменьшение ПС на 0,1).
Таким образом, за последний год в контрольной группе на¬блюдается тенденция к «выравниванию» показателей овладения знаковыми и символическими средствами при решении задач разного характера. А в экспериментальной группе произошло не¬которое повышение показателей выполнения объектно-ориенти¬рованных заданий как репродуктивного, так и продуктивного ха¬рактера. Успешность в выполнении репродуктивных задач с использованием символических средств резко снижается, хотя использование этих средств в творческих заданиях осталось на прежнем уровне.
Проведенные обследования позволяют выделить как возрастные особенности овладения знаковыми и символическими средствами, так и влияние образовательной работы на развитие умственных спо¬собностей у дошкольников.
На основе анализа результатов всех пяти диагностических обсле¬дований детей экспериментальной и контрольной групп можно от¬метить несколько этапов в овладении ими различными мыслитель¬ными средствами (см. рис. 13 и 14).
В возрасте от 3 до 5 лет дети активно осваивают знаковые средст¬ва, о чем свидетельствует рост показателей успешности выполнения и репродуктивных, и творческих задач в обеих группах от I к III об¬следованию.
Затем в возрасте от 5 до 6 лет можно отметить «спад» в овладении знаковыми средствами. Именно между III (конец средней группы детского сада) и IV (конец старшей группы) обследованиями наблю¬дается снижение показателей выполнения объектноориентирован-ных заданий репродуктивного и продуктивного характера.
Но уже на седьмом году жизни, к концу дошкольного возраста, отмечается новое повышение показателей выполнения объектных заданий, что, вероятно, свидетельствует о новом этапе в овладении детьми знаковыми средствами.
При этом изменения успешности использования знаковых средств при выполнении репродуктивных заданий в целом аналогичны изме¬нениям уровня выполнения продуктивных заданий в обеих группах: рост и снижение показателей решения творческих и репродуктивных задач происходит в одни и те же периоды. Исключение составляют пе¬риоды между II и III обследованиями в экспериментальной и I и II — в контрольной группах, когда изменения в успешности выполнения двух типов заданий разнонаправлены. Таким образом, овладение зна¬ковыми средствами ведет к повышению успешности использования этих средств в задачах разного характера.
Наряду с возрастными особенностями есть различия в процес¬се овладения знаковыми средствами детьми обеих групп, которые, очевидно, связаны с реализацией в них разных образовательных программ. Во-первых, все изменения показателей успешности ре¬шения задач разного типа детьми экспериментальной группы име¬ют более плавный и ровный характер. Во-вторых, эксперименталь¬ная группа в целом, показавшая в начале исследования более низкие результаты, уже после года образовательной работы стала успешнее контрольной в выполнении репродуктивных задач и практически достигла того же уровня в творческих заданиях. При этом более высокие показатели овладения знаковыми средст¬вами детьми экспериментальной группы сохранялись на протяже¬нии всего дошкольного периода.
Результаты выполнения субъектных заданий также позволяют выделить как различия, так и общие черты процесса овладения символическими средствами детьми обеих групп.
В освоении символических средств выделяется начало до¬школьного возраста (от I до III обследования) — этап активного ов¬ладения. После III обследования в обеих группах связь между ус¬пешностью использования символических средств в репродуктивных и продуктивных задачах не прослеживается. Так, например, за подготовительную группу успешность выполнения репродуктивных заданий детьми контрольной группы выросла, а продуктивных — снизилась. В экспериментальной же группе про¬исходит резкое падение уровня решения репродуктивных задач, а показатели по творческим заданиям остаются прежними. При этом уровень выполнения творческих субъектных заданий, очевидно, не зависит прямо от успешности выполнения репродук¬тивных заданий: изменения показателей по продуктивным задачам незначительны.
Кроме того, овладение символическими средствами происхо¬дит в обеих группах, хотя образовательная программа в контроль¬ной группе не включает задачу освоения этих средств.
Таким образом, средства символизации осваиваются детьми на протяжении всего дошкольного периода, но уровень успешности использования их в репродуктивных заданиях существенно не вли¬яет на показатели выполнения творческих задач.
Изменения показателей выполнения субъектных задач детьми обеих групп всех пяти обследований проявляют и различия в дина¬мике освоения символических средств, обусловленные отличиями реализованных образовательных программ. Хотя к концу младшей группы отмечается повышение уровня выполнения репродуктив¬ных заданий детьми обеих групп, изменения в экспериментальной группе значительнее. Далее на протяжении почти всего дошколь¬ного периода — с конца младшей до конца старшей группы — на¬блюдается стабильный уровень выполнения репродуктивных зада¬ний детьми группы, работающей по программе «Развитие», которая включает задания на овладение символическими средст-
вами и использование их в заданиях различного типа. Успешность других детей в решении таких задач за это время менялась: снача¬ла повышение показателей (II — III обследование), затем их сни¬жение (III — IV обследование). Результаты последнего (пятого) обследования показывают, что за год произошли изменения в на¬правлении освоения символических средств в обеих группах: уро¬вень выполнения репродуктивных заданий детьми эксперимен-тальной группы резко снижается, а дети контрольной группы стали более успешны.
Таким образом, включение в образовательную работу заданий, направленных на овладение средствами символизации, во-пер¬вых, позволяет детям до конца старшей группы использовать бо¬лее успешно именно эти средства при решении репродуктивных задач. Во-вторых, при выполнении творческих заданий на протя¬жении всего дошкольного возраста в этой группе не наблюдается даже минимальное снижение показателей (в отличие от кон-трольной группы).
Однако в конце подготовительной экспериментальной группы наблюдается резкое понижение успешности выполнения субъект¬ных репродуктивных задач. Этот факт делает необходимым сравне¬ние динамики овладения знаковыми и символическими средства¬ми детьми обеих групп. В контрольной группе характер изменений показателей выполнения объектных разного характера и субъект¬ных творческих заданий одинаков (рис. 13 и 14), т.е. овладение зна-ковыми и символическими средствами протекало параллельно. Почти такая же динамика овладения знаковыми средствами и в экспериментальной группе, а освоение средств символизации про¬ходило по-другому, и в нем можно выделить три этапа. Первый этап — I—II обследования — рост показателей успешности выпол¬нения всех типов заданий; второй — II-IV обследования — на фо¬не стабильного уровня использования символических средств при решении репродуктивных задач снижение показателей при выпол¬нении репродуктивных объектных заданий; третий — IV-V обсле¬дования — сочетание роста успешности решения репродуктивных объектных задач и резкое снижение уровня выполнения репродук¬тивных субъектных заданий.
Таким образом, в группе, где образовательная работа не пред¬полагала освоение средств символизации, дети стихийно осваива¬ли их. При этом процесс имел тот же характер, что и освоение зна¬ковых средств, как бы «сопровождал» его. Образовательная работа по программе «Развитие» привела к тому, что символические средства использовались детьми экспериментальной группы длитель¬ное время более успешно, а в подготовительной группе они «отсту-пили» на второй план, уступив знаковым средствам. Эти результа¬ты подтверждают актуальность проблемы символических средств в развитии дошкольников и, вероятно, свидетельствуют о специфи¬ке средств символизации.
Данные проведенных обследований уровня развития умствен¬ных способностей позволяют говорить о том, что они отражают как возрастные особенности овладения мыслительными средствами, так и влияние образовательной работы, осуществляемой по про¬грамме «Развитие», на освоение детьми знаковыми и символичес¬кими средствами и успешность использования их при выполнении репродуктивных и творческих заданий.

2.2 Методические особенности построения курса математики для учащихся I класса

В связи с тем что некоторые пространственные, времен¬ные и числовые представления сформированы еще до прихода ребенка в школу, в подготовительном периоде, наряду с уточне¬нием и систематизацией знаний о сравнении предметов по размеру, цвету, форме, расположению, о сравнении групп предметов, о счете предметов, предусматривается изучение устной нумерации чисел в пределах 10, ознакомление с печатными цифрами, под-готовка руки к письму цифр.
В учебнике предусмотрено одновременное ознакомление с образованием чисел и письмо цифр, что будет способствовать более глубокому осознанию нумерации чисел в пределах 10. Цифра, как и буква, обобщает.
При изучении нумерации чисел в пределах 10 дети полу¬чают число не только путем счета предметов, но и в результате счета числа отрезков, полученных при делении большого отрез¬ка на равные маленькие. Такой подход к формированию понятия числа позволит рассмотреть его двойственную природу. С одной стороны, число получается на основе анализа групп (множеств) предметов, имеющих одинаковую численность. В этом случае в неявном виде используются элементы теории множеств без введе¬ния языка этой теории, который труден для детей шестилетнего возраста. С другой стороны, число получается в результате рас¬смотрения отношения величин. (Соотносятся длины отрезков раз¬ного размера.)
Все вычислительные приемы сложения и вычитания дети «открывают» сами путем преобразования учебной информации. При формировании вычислительных приемов применяются все этапы формирования умственных действий: практическое дейст¬вие, проговаривание в громкой речи и про себя.
Сложение и вычитание рассматриваются во взаимосвязи. С этой целью дети преобразуют примеры и задачи в обратные, и наоборот, что способствует развитию гибкости мышления и при¬учает детей к самоконтролю.
В учебнике не предусмотрено изучение каждого вычисли¬тельного приема вида 6 — , 7 — , 8 — , 9 — , 10 —  на отдельных уроках, так как все они основаны на знании состава чисел в пределах 10 и знании правила нахождения неизвестного слагаемого. При вычислении значения выражения вида 10 — 6 де¬ти рассуждают так: «10 — это 6 и 4, из 10 вычтем 6, останется 4». При вычислении значений других выражений вида 9 — 7, 10 — 8, 10 — 9 и др. учащиеся рассуждают аналогично.
При формировании навыков сложения и вычитания в преде¬лах 10 детям предлагаются таблицы сложения и вычитания с элементами самоконтроля, что особенно важно для учащихся малокомплектной школы. Под таблицами сложения и вычитания даются ответы.
Начиная с подготовительного периода проводится систе¬матическая работа по подготовке к изучению состава чисел в пределах 10. При работе над составом чисел дети от практических действий с кругами, окрашенными с разных сторон в два цвета, и от рассмотрения состава числа по линейке, по отрезку, от запол¬нения числовых домиков кругами разного цвета переходят к упражнениям без опоры на наглядность.
На последнем этапе в работе над составом числа дети подво¬дятся к выводу: какой бы числовой ряд не рассматривался, всегда числа, стоящие на одинаковых местах в числовом ряду (справа и слева) составляют в сумме последнее число.
Этому упражнению необходимо уделить должное внимание начиная с изучения устной и письменной нумерации чисел. Оно позволяет основательно усвоить состав чисел в пределах 10.
Геометрический материал распределен по всем разделам учебника.
В его изучении можно выделить два этапа:
1) ознакомление с геометрической фигурой (точка, линия прямая линия, отрезок, круг, многоугольник);
2) формирование первоначальных представлений о величине и ее измерении (на примере измерения длины отрезка)
Методика изучения геометрического материала предусматри¬вает формирование геометрических представлений не только на основе наблюдений, но и на основе собственной деятельности де¬тей: первоклассники не только называют и показывают геомет¬рические фигуры, но и вычерчивают их, вычленяют из рисунков а также составляют рисунки из геометрических фигур.
При ознакомлении с прямой линией в учебнике предложены образцы кривых и ломаных линий (замкнутых и незамкнутых) только в сопоставлении с этими линиями создается представле¬ние о прямой линии. Образцы разных линий предложены в зани¬мательной форме (в виде лабиринтов, логических упражнений)
Представление об отрезке прямой линии создается на основе рассмотрения и построения детьми части прямой, заключенной между двумя точками.
В системе упражнений предлагаются и отрезки, разделенные на равные маленькие отрезки, еще до введения понятия о санти¬метре. Эти отрезки используются для формирования понятия чис¬ла. При счете маленьких равных отрезков, полученных при делении большого отрезка, расширяется понятие о числе: число получается не только в результате счета предметов, рисунков, но и при изме¬рении отрезков.
При формировании представлений о круге и многоугольнике важно сравнить их и найти отличие; подвести детей к выводу о том, что круг круглый, а многоугольники с углами что назва¬ние геометрических фигур зависит от числа углов (треугольник четырехугольник, пятиугольник); научить правильно показывать углы, вершины углов, стороны многоугольников.
При ознакомлении с кругом, квадратом, треугольником не¬обходимо обратить внимание детей на все виды линий, представ¬ляющих границы рассматриваемых фигур: граница круга — кри¬вая замкнутая линия, многоугольника — замкнутая ломаная ли¬ния.
Ознакомление с измерением отрезка — очень важный этап в изучении геометрического материала.
Первая единица измерения отрезка — сантиметр. Необходимо познакомить первоклассника с моделью сантиметра (полоска длиной 1 см, кубик с ребром 1 см) и научить правилам измерения отрезка с помощью модели длиной 1 см.
I прием:
1) точно приложить конец модели сантиметра к одному из концов измеряемого отрезка;
2) отметить карандашом второй конец модели сантиметра;
3) к полученной отметке снова приложить модель сантиметра и сделать вторую отметку. И т. д.
4) сосчитать число отмеченных маленьких отрезков на боль¬шом.
II прием:
Уложить вдоль измеряемого отрезка несколько моделей сан¬тиметра.
III прием:
Познакомить с правилами измерения отрезка с помощью ли¬нейки.
В учебнике предусмотрены обратные задачи на построение отрезков заданной длины, на сравнение длин отрезков.
При изучении сложения и вычитания в 'пределах 10 целесо¬образно познакомить детей с приемом сложения и вычитания по линейке.
При измерении длины отрезка с помощью дециметра прово¬дится аналогичная работа.
В учебнике предусмотрены задания для развития конструк¬торских способностей детей. С этой целью предлагаются задания на вычленение геометрических фигур из рисунков, на их дополне¬ние и конструирование. Например, в рисунке Кремля дети дори¬совывают недостающие часы, в рисунке парохода — трубу, в рисунке рыбки — плавники. И т. д.
В системе упражнений — множество заданий на составление рисунков из геометрических фигур (сначала — по образцу, а за¬тем — и по представлению). Например, требуется составить фигурку гуся, зайца, кенгуру, кошки, коня, «сконструировать» трактор, пароход, машину. И т. д.
10. Важнейшим средством развития различных форм мышле¬ния детей являются задачи. При работе над задачей функциони¬рует вся система мыслительных операций (анализ, синтез, срав¬нение, абстрагирование и обобщение). При обучении решению задач дети овладевают общим способом мыслительной деятельности: учащиеся обучаются моделировать сюжет задачи; соотно¬сить то, что дано в задаче, с тем, что нужно узнать; переводить сюжет задачи, предложенной в словесной форме, на математичес¬кий язык цифр; осознавать характер собственных действий.
Первое знакомство с задачей и ее элементами вызывает у де¬тей шестилетнего возраста значительные трудности. Ученики за¬трудняются выделить элементы задачи: условие, вопрос, решение, ответ. Назвав ответ, дети не могут сказать, какое действие они выполнили. Иногда, решив задачу и получив ответ, дети выпол¬няют с ним действие. Например, ученикам предложена задача: «Марина и Оля вырезали 10 звездочек, Марина вырезала 6 звез¬дочек. Сколько звездочек вырезала Оля?» Дети шестилетнего возраста решают задачу так: 6 + 4 = 10 (з.).
Из решения видно, что дети не ответили на вопрос задачи, «потеряли» его.
Наблюдения показывают, что если учащиеся «теряют» во¬прос, решение ими задачи приобретает характер случайных, не¬целенаправленных действий, бессознательного манипулирования числами.
Очень важно научить первоклассников вычленять из текста задачи ее элементы и показать этапы работы над ней.
Покажем пример первого знакомства с простой задачей и ее элементами. Предлагается задача: «Маша сначала нашла в лесу 3 лисички, а потом 2 белых гриба. Сколько всего грибов нашла Маша?» Одна ученица с помощью муляжей или настоящих грибов иллюстрирует задачу. Она кладет в корзину сначала 3 лисички, а потом 2 белых гриба. Учитель спрашивает: «Что вы ви-дели?» (Маша сначала положила в корзину 3 лисички, а потом 2 белых гриба.) «То, что вы видели, — это условие задачи, это известно в задаче», — продолжает учитель. — А что вы не видите? О чем можно спросить про грибы?» (Сколько всего грибов в корзине?) «Это вопрос задачи. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо выполнить действие. Но в задаче не сказано, какое действие надо выполнить. Чтобы выполнить действие, надо догадаться». Дети, решив задачу, повторно воспроизводят условие, вопрос, ре¬шение, ответ.
В дальнейшем аналогичные задачи дети разыгрывают по ро¬лям: один ученик проговаривает условие задачи, другой — во¬прос, третий — решение, четвертый — ответ.
При разработке методики обучения решению задач мы исхо¬дили из положения психологов С. Л. Рубинштейна и К. А. Славской о том, что при решении задач, как и при любом мыслительном процессе, учащиеся используют, переносят способы решения с одних задач (ранее решенных) на другие. В основе переноса лежит обобщение, а обобщение является следствием анализа, вскрывающего существенные связи. Общим и существенным для всех задач является способ их разбора, способ их анализа. Можно научить решать задачи конкретных видов, но если не выработан общий метод подхода к задаче, общий способ ее анализа, дети самостоятельно решать задачи не научатся.
Представляется необходимым познакомить учащихся с планом работы над задачей, с определенными правилами, которые могут помочь ученику в анализе задач. Например:
1. Не начинай решать задачу, пока не запомнил условие и вопрос задачи.
2. Обрати особое внимание на вопрос и всегда помни его.
3. Вспомни условие задачи и ее вопрос и построй к ней схему или краткую запись условия.
4. Реши задачу.
5. Проверь решение. Составь к данной задаче обратную и реши ее.
Следует отметить, что эта памятка (модель-предписание) рас¬крывает план работы над задачей, но не показывает механизма открытия способа ее решения.
Эффективным методом, способствующим установлению связей между условием и вопросом задачи, открытию способов решения задач, является метод моделирования.
В методику обучения решению простых задач мы включили систему учебных моделей, переводящих ученика с одного уровня мышления на другой (вещественные, образные — рисунки, схе¬мы, графические и знаковые модели, составление картинного пла¬на к задаче). Покажем на примере наиболее сложных задач на нахождение неизвестного слагаемого методику работы над зада¬чами.
Наши наблюдения показывают, что эффективными средствами решения задачи являются аналитические картинки, применяемые во взаимосвязи с образной моделью. Предметно-аналитическая картинка ближе к тексту задачи, она отличается большой конкрет¬ностью, поэтому понятнее для детей, чем схема.
Однако предметно-аналитическая картинка в силу своей кон¬кретности мало помогает ученику в установлении зависимости между условием и вопросом задачи. Схема (модель) в большей степени подводит детей к отысканию способов решения задач. Модель является обобщенным абстрагированным выражением за¬висимостей между условием и вопросом задачи. В то же время она обладает определенной наглядностью. Переплетение наглядного и абстрактного в модели помогает нахождению способа решения задач.
Поэтому в учебник включены аналитические картинки, к ко¬торым в незавершенном виде предложены модели (схемы). Дети, анализируя задачи, достраивают схемы.
Следует отметить, что на каждом этапе работы над задачами составляются разные модели, в которых степень абстракции уси¬ливается.
Так, на первом этапе используется предметная модель, она в большей мере, чем другие модели, способствует выяснению способа решения задач.
Пусть ученикам предложена задача: «У Наташи и Марины было 5 яблок. У Марины было 3 яблока. Сколько было яблок у Наташи?»
Учитель, выяснив, что известно в задаче и что надо узнать, предлагает выложить на столе столько кубиков, сколько всего яблок у Марины и Наташи вместе. Дети выкладывают 5 куби¬ков. «Сколько яблок у Марины?» (3.) «Отодвиньте столько же кубиков из 5». «Остальное число яблок было...» (У Наташи.) «Сколько кубиков осталось? Сколько яблок у Наташи?» (2.) «Каким действием нашли?» (Вычитанием.) Таким образом, использованная модель приближена к практическому действию. Она помогает найти способ решения задачи.
На втором этапе используется образная модель (схема). При ее построении ученики на основе установления количественных соотношений между условием и вопросом задачи находят ответ. Чтобы перевести задачу на математический язык, необходимо догадаться по ответу, найденному на схеме, и числовым дан-ным, какое действие надо выполнить. Например, предложена за¬дача: «Наташа и Вера купили 7 шариков. Вера купила 4 шарика. Сколько шариков купила Наташа?» В учебнике к аналогичной задаче предлагается незавершенная схема, дети достраивают ее. Учитель дает задание: «Поставьте в прямоугольнике столько точек, сколько шариков купили обе девочки. Сколько точек поста¬вили?» (7.) «Отделите в схеме слева направо столько точек, сколько шариков купила Вера. Сколько точек отделили?» (4.) «Сколько шариков купила Наташа?». (3.)
«Что требовалось узнать в задаче?» (Сколько шариков купила Наташа?) «Сколько она купила шариков?» (3.) «Где запишете это число в решении?» (В ответе.) Учитель пишет на доске 7 4=3. «Подумайте, какой знак надо поставить между числами 7 и 4, чтобы получилось 3». (Минус.)
На третьем этапе используется более абстрактная графичес¬кая схема, где ответ задачи не виден и решение скрыто. Однако схема дает графический образ задачи на нахождение неизвестного слагаемого. Например, ученикам предложена задача: «На ветке выросло 8 ягод земляники. Из них 5 красных, остальные зеле¬ные. Сколько зеленых ягод на ветке?» К задаче дети строят гра-фическую модель:

Этой моделью создан образ задачи, решаемой ранее.
Графическая модель — это опора для построения мысленной модели, в которой количественные отношения между данными и вопросами задачи выражены более абстрактно.
Графическую модель можно конкретизировать воображаемым рисунком: «Какую картинку нарисуете к задаче?» (Веточку, на ней 8 ягод, из них 5 красных, остальные зеленые.)
«Сорвали 5 красных ягод. Сколько останется зеленых?» (3.) «Каким действием узнали?» (Вычитанием.) Таким образом, во¬ображаемая картинка и произведенные в уме действия помогают перевести материализованные действия, выполняемые ранее на схеме, в план представлений.
На последнем этапе к задачам этого вида составляется мыс¬ленная числовая модель:

С помощью данной модели создается обобщенный образ ма¬тематической структуры задач данного вида. По ней дети узнают, что такие задачи они решали раньше, и переносят на каждую конкретную задачу этого вида способ решения аналогичных за¬дач.
Более глубокому осознанию способа решения разных видов задач способствуют приемы преобразования и составления задач. В учебнике предложены разные задания для отработки этих прие¬мов. В процессе решения готовых задач создаются их модели, по которым дети составляют аналогичные задачи. С развитием умения в решении задач предлагаются задания на преобразо¬вание и составление задач по заданиям вида:
1. Составьте задачи по числовым выражениям:
5 + 3, 8 — 3, 8 — 5, 5 — 3.
2. Составьте задачи по схемам:

При затруднении учащихся первые задачи составляет учитель, а затем — дети.
Такие задания способствуют развитию гибкости мышления, формированию диалектических умственных действий.


2.3 Выводы
Исследование индивидуальных особенностей познавательного развития детей дошкольного возраста, представленное в данной работе, проводилось на протяжении всего дошкольного детства. Дети обследовались в течение четырех лет. Теоретическую основу исследования составила теория развития познавательных способ¬ностей, разработанная в трудах А.В.Запорожца, Л.А.Венгера, О.М. Дьяченко и их сотрудников. Такой подход позволил решить ряд методологических и методических вопросов, касающихся мо¬дели, описывающей возможные индивидуальные траектории по¬знавательного развития ребенка. Согласно взгляду авторов инди¬видуальные особенности развития познавательной сферы детей обусловлены спецификой средств, которые дошкольники осваи¬вают в различных видах деятельности. Всего было выделено четы¬ре группы детей, отличающихся исходным уровнем познаватель¬ного развития. Несмотря на известную условность предложенного деления, данный подход позволил описать динамику познаватель¬ного развития детей дошкольного возраста. В качестве оснований для классификаций были выбраны предпочтительные ориентации детей на решение задач репродуктивных или продуктивных, свя¬занных либо с выявлением объектных отношений, либо установ¬лением субъективного отношения ребенка в ходе выполнения за¬дания. Таким образом, было установлено наличие четырех исходных групп детей: ориентированных на решение репродук-тивно-объектных задач, репродуктивно-субъектных задач, про¬дуктивно-объектных задач и продуктивно-субъектных задач.
Выбор групп детей был осуществлен на основе специально разработанной сотрудниками лаборатории способностей и творче¬ства Института дошкольного образования и семейного воспита¬ния РАО системы диагностики познавательного развития детей дошкольного возраста. Проведенная диагностика показала, что действительно наблюдаются индивидуальные различия в успеш¬ности решения детьми задач, предполагающих ориентацию на объектные и субъектные отношения как в случае репродуктивных, так и продуктивных заданий. Как показали исследования, каждая из групп детей может быть рассмотрена в качестве отдельного ти¬па познавательного развития, имеющего свою динамику на протя¬жении всего дошкольного возраста.
Сама динамика характеризуется как тенденциями, специфиче¬скими для каждого типа, так и тенденциями общего порядка. Сре¬ди общих тенденций можно отметить две наиболее существенных. Одна из них состоит в том, что в целом на протяжении дошколь¬ного возраста происходит смена ориентировки детей на основе символических средств на ориентировку на основе знаковых средств. Эта тенденция выражается в более успешном решении за¬дач на выявление объектных отношений в конце дошкольного возраста в сравнении с успешностью выполнения заданий, в кото¬рых детям предлагается проявить субъективное отношение. Вто¬рая тенденция характеризуется известным усилением успешности решения репродуктивных задач в сравнении с заданиями продук¬тивными. Последняя тенденция в значительной степени вызвана предъявляемыми к детям дошкольного возраста требованиями со стороны начальной школы.
Говоря о тенденциях развития, характерных для каждой груп¬пы детей, нужно указать на три главные из них. Первая тенденция выражается в том, что ребенок-дошкольник может проявлять ус¬тойчивые предпочтения к решению задач одного из указанных ти¬пов на протяжении всего дошкольного возраста, что обусловлено особенностями его ориентировочной деятельности, осуществляе¬мой преимущественно либо с использованием символических, ли¬бо знаковых средств. Вторая тенденция, установленная в ходе изу¬чения особенностей индивидуального развития детей дошкольного возраста, характеризуется неустойчивостью предпо¬чтений и указывает на недостаточную сформированность системы средств ориентировочной деятельности ребенка. Третья тенденция характеризуется устойчивым переходом к предпочтению от одних задач к другим, что обусловлено освоением новых средств ориен-тировочной деятельности.
Проведенное исследование позволяет говорить о том, что до¬школьный возраст выступает в качестве целостного периода по¬знавательного развития ребенка, в ходе которого закладывается стиль его познавательной деятельности. Однако индивидуальная траектория познавательного развития ребенка-дошкольника в значительной степени может быть гармонизирована в ходе специ¬ально организованной образовательной работы. Благодаря обра-зовательному процессу, предусмотренному в программе «Разви¬тие» оказалось возможным не только повысить успешность решения детьми дошкольного возраста задач разных типов, но и обеспечить усвоение различных средств ориентировочной дея¬тельности на достаточно высоком уровне. Именно данное обстоя¬тельство подтвердило основную гипотезу исследования и экспери-ментально показало возможность познавательного эффективного развития детей дошкольного возраста, выраженную в успешном решении познавательных задач всех типов, а значит, и достаточную сформированность навыков самоконтроля при выполнении вычислительных операций и показала его роль при дальнейшем обучении в школе.


Заключение
Как показывают многочисленные исследования психологов, для шестилетнего ребенка, пришедшего в школу, характерно преобладание наглядно-действенного и наглядно-образного мыш¬ления. У детей дошкольного возраста появляются зачатки сло¬весно-речевого мышления. Они строят простейшие формы рассуж¬дений и обнаруживают элементарные причинно-следственные за¬висимости.
Важно подчеркнуть, что данные формы мышления выпол¬няют свои специфические функции в процессе умственного разви¬тия детей не только дошкольного, но и школьного возраста.
В процессе обучения школьников начальных классов по срав¬нению с детьми дошкольного возраста в тесном взаимодействии с наглядно-действенным и наглядно-образным мышлением функ¬ционирует и логическое мышление.
Органическая связь и взаимодействие наглядно-действенного и наглядно-образного мышления являются предпосылкой разви¬тия понятийного мышления.
Как показывают многочисленные исследования психологов, главным механизмом формирования понятий являются действия, операции.
Вне действий понятие не может быть ни усвоено, ни приме¬нено к решению задач. Оно не может быть передано ученику в готовом виде, а только сформировано на основе собственной деятельности ученика.
Эту мысль убедительно подчеркивал С. Л. Рубинштейн: «Вся¬кая попытка воспитателя — учителя «внести» в ребенка познание и нравственные нормы, минуя собственную деятельность ребенка по овладению ими, подрывает самые основы здорового умствен¬ного и нравственного развития ребенка, воспитания его личност¬ных свойств и качеств».
В соответствии с общей теорией деятельности в качестве ее единицы выделяются действия, подчиненные учебным целям.
Для развития различных сторон мышления детей шестилет¬него возраста в учебнике предусмотрены разнообразные виды учебных действий, предлагаемые в соответствии с закономер¬ностями обучения, сформулированными дидактами: «Чем больше и разностороннее обеспечиваемая учителем интенсивность деятельности учащихся с предметом усвоения, тем выше качество усвоения знаний, зависящее от характера организуемой деятель¬ности — репродуктивной или творческой».
Все виды учебных действий по математике можно разбить на три большие группы: репродуктивные, продуктивные (творческие) и контролирующие.
К первой группе относятся два вида учебных действий, со¬ставляющие репродуктивную основу мышления: исполнительские и воспроизводящие. Эти учебные действия применяются при закреплении учебного материала.
Исполнительские учебные действия предполагают выполнение заданий по образцу.
Воспроизводящие учебные действия направлены на формиро¬вание вычислительных и графических навыков. С помощью ука¬занных учебных действий дети воспроизводят правила, свойства действий, приемы вычислений, способы решения задач, аналогич¬ных тем, которые ученики решали под руководством учителя.
Ко второй группе относятся три вида учебных действий.
Обобщающие мыслительные учебные действия осуществляют¬ся под руководством учителя при объяснении нового материала в связи с выполнением заданий аналитического, сравнительного и обобщающего характера.
Поисковые учебные действия способствуют продвижению детей в самостоятельном поиске новых знаний (свойств действий, спо¬собов решения задач нового вида, новых вычислительных прие¬мов), дети подмечают закономерности в расположении чисел, геометрических фигур, цепочек примеров.
Преобразующие учебные действия связаны с преобразованием примеров и задач и направлены на формирование диалектиче¬ских умственных действий.
В третью группу включаются контролирующие учебные дейст¬вия. Они направлены на формирование навыков самоконтроля.
В данный курс математики включена система упражнений, направленная на формирование диалектических умственных дей¬ствий: объединения, опосредствования, превращения, обращения, смены альтернативы, диалектического действия содержательной сериации, поиска зависимостей, закономерностей, что повышает роль самоконтроля при формировании вычислительных операций.
Список использованной литературы
1. Блонский П. П. Избр, психол. произв. М.. «Просвещение», 1964.
2. Давыдов. В. В. О соотношении абстрактных и конкретных знаний в обучении. — «Вопросы психологии», 1968.
3. Рубинштейн С. Л. Основы обшей психологии. Изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1946.
4. Кабанова-Меллер Е. Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. М., Изд-во АПН РСФСР, 1962
5. Шилова Е. Н. Сравнение при обучении математике. I класс.— «Начальная щкола», 1969
6. Пышкало А. М. Проблемы совершенствования методики на¬чального, обучения. В сб.: Повышение, эффективности обучения в начальных классах. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1976
7. Айзенберг М. И. Обучение учащихся методам самостоятельной рабо¬ты с учебником//Математика в школе. —1982.— № 6.
8. Бабанский Ю. К. Рациональная организация учебной деятельности.— М.: Знание, 1981.— (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагогика и психо-логия»; 3/1981).
9. Базисная программа содержания математического образования в средней школе//Математика в школе. —1981.—№ 4.
10. Денищева Л. О. Приемы учебной работы как средство формирования частных умений при обучении началам математического анализа//Математика в школе.—1983.—№ 1.
11. Кабанова-Меллер Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обу-чение.— М.: Знание, 1981.— (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагоги-ка и психология»; 6/1981).
12. Колот В., Пунский В. Учить учиться//Народное образование.— 1983.— № 2.
13. Кулько Б. А., Цехместрова Т. Д. Формирование у учащихся умений учиться: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983.
14. Овсянникова Л. А., Шибаева Н. И. Выработка общеучебных и специальных умений и навыков учащихся в процессе обучения//Математика в школе. — 1982. — № 4.
15. Паламарчук В. Ф. Школа учит мыслить.— М.: Просвещение, 1979.
16. Паравян Н. А. Выработка у школьников навыков работы с книгой// Математика в школе.—1982.— № 2.
17. Пидкасистый П. И. Организация деятельности ученика на уроке.— М.: Знание, 1985,— (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагогика и пси-хология»; 3/1985).
18. Развитие общих учебных умений и навыков школьников: Рекомендации Министерства просвещения СССР//Воспитание школьников.—1984.— № 4.
19. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике (Формирование умений самостоятельной работы): Сб. статей/Сост. С. И. Деми-дова, Л. О. Денищева.— М.: Просвещение, 1985.
20. Слепкань 3. И. Психолого-педагогические основы обучения математи¬ке. — Киев: Рад. школа, 1983.
21. Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов/Сост. Н. С. Анто-нов и В. А. Гусев.— М.: Просвещение, 1985.
22. Столяр А. А. Методы поиска решения задач//Методы обучения матема-тике. — Минск, 1981.
23. Талызина Н. Ф. Формирование познавательной деятельности уча-щихся.— М.: Знание, 1983. — (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педаго-гика и психология»; 3/1983).
24. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математи¬ке в школе: Учителю математики о психологии.— М.: Просвещение, 1983.
25. Фридман Л. М. Учись учиться математике: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1985.
26. Чуканцев С. М. Учить самоконтролю//Математика в школе. — 1979. — №6.
27. Якуба Э. Г. О вооружении учащихся навыками учебного труда в про-цессе обучения математике: Из опыта работы кабинета математики областного ИУУ/Математика в школе.—1981.—№ 5.