Задание
Обработать прямые многократные равноточные измерения.

Исходные данные
Результаты наблюдения:
360,61 359,46 358,93 360,48 359,88 360,82 360,61 360,38
359,89 359,35 360,13 359,90 360,00 359,53 359,75 359,88
360,23 360,18 360,45 359,55 359,73 360,74 359,75 360,88
360,70 360,11 360,33 360,06 359,69 360,75 360,24 359,54
360,00 359,54 359,79 360,42 359,91 360,16 359,73 360,43

Считается, что в результатах наблюдений исключены все известные систематические погрешности.
Значение неисключенной систематической погрешности: 0,82.

Обработка результатов
1. Предварительно определим математическое ожидание результатов наблюдений, принимаемое за точечную оценку результата измерения, по формуле:
, (1)
где n – количество наблюдений.
В нашем случае .
Поэтому, подставив все известные данные в формулу (1), получим:
.
2. Далее исходя из математического ожидания можно вычислить среднеквадратическое отклонение результатов наблюдений по формуле:
. (2)
С учетом известных данных получим:
.
3. Следующим этапом является проверка наличия промахов и грубых погрешностей. Для этого необходимо расположить результаты наблюдения в порядке возрастания:
358,93 359,35 359,46 359,53 359,54 359,54 359,55 359,69
359,73 359,73 359,75 359,75 359,79 359,88 359,88 359,89
359,90 359,91 360,00 360,00 360,06 360,11 360,13 360,16
360,18 360,23 360,24 360,33 360,38 360,42 360,43 360,45
360,48 360,61 360,61 360,70 360,74 360,75 360,82 360,88

Взяв для уровня значимости при предельную величину определим граничные значения x:
. (3)


Видно, что результаты наблюдений не выходят за границы предельных значений, поэтому грубые погрешности отсутствуют.
4. Далее вычислим значения и и сведем их в таблицу 1.
Таблица 1
Номер наблюдения xi


1 360,61 0,5465 0,2987
2 359,46 -0,6035 0,3642
3 358,93 -1,134 1,2850
4 360,48 0,4165 0,1735
5 359,88 -0,1835 0,0337
6 360,82 0,7565 0,5723
7 360,61 0,5465 0,2987
8 360,38 0,3165 0,1002
9 359,89 -0,1735 0,0301
10 359,35 -0,7135 0,5091
Продолжение таблицы 1
11 360,13 0,0665 0,0044
12 359,90 -0,1635 0,0267
13 360,00 -0,0635 0,0040
14 359,56 -0,5035 0,2535
15 359,75 -0,3135 0,0983
16 359,88 -0,1835 0,0337
17 360,23 0,1665 0,0277
18 360,18 0,1165 0,0136
19 360,45 0,3865 0,1494
20 359,55 -0,5135 0,2637
21 359,73 -0,3335 0,1112
22 360,74 0,6765 0,4577
23 359,75 -0,3135 0,0983
24 360,88 0,8165 0,6667
25 360,70 0,6365 0,4051
26 360,11 0,0465 0,0022
27 360,33 0,2665 0,0710
28 360,06 -0,0035 0,0000
29 359,69 -0,3735 0,1395
30 360,75 0,6865 0,4713
31 360,24 0,1765 0,0311
32 359,54 -0,5235 0,2741
33 360,00 -0,0635 0,0040
34 359,54 -0,5235 0,2741
35 359,79 -0,2735 0,0748
36 360,42 0,3565 0,1271
37 359,91 -0,1535 0,0236
38 360,16 0,0965 0,0093
39 359,73 -0,3335 0,1112
40 360,43 0,3665 0,1343
Σ=-3,4•10-12 0
Σ= 8,027

5. Теперь вычислим среднеквадратическое отклонение результата измерения по формуле:
. (4)
После подстановки данных получим:
.
6. Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению.
Существуют различные критерии, область которых в основном определяется числом результатов наблюдений n. При рекомендуется использовать критерий Пирсона, при – составной критерий, при
принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению не проверяют.
Т.к. в нашем случае , то будем применять составной критерий, который состоит из двух критериев.
Критерий 1
По результатам наблюдений находим отношение:
, (5)
которое после подстановки известных данных будет равно:
.
Далее проверяем условие
. (6)
Выбор величин и производим по таблице приложения 3 в [1] для объема выборки n = 41 и величины q1 = 5%:
, .
Условие (6) выполняется: , следовательно, гипотеза о нормальном распределении по критерию 1 принимается.
Критерий 2
Этот критерий введен дополнительно для проверки «концов» распределения.
Сначала находим число степеней свободы
, (7)
где – количество интервалов, на которые разбивается вся последовательность результатов измерений.
Тогда .
Далее находим произведение , где – верхняя квантиль нормированной функции Лапласа, соответствующая вероятности P, которая определяется по таблице приложения 5 в [1] по выбранному уровню значимости q¬2¬ и числу наблюдений n.
Для и , тогда .
Гипотеза по критерию 2 принимается, если количество разностей , превосходящих , будет не более m.
Для нашего случая m = 2 из таблицы приложения 5 в [1], а разности , превышающие , что видно из таблицы 1, отсутствуют, т.е. условие 0 < m выполняется.
Результирующий уровень значимости составного критерия должен соответствовать условию
, (8)
где .
В нашем случае , т.е. условие (8) выполняется.
Следовательно, гипотеза о нормальности распределения по составному критерию принимается.
7. Найдем границы доверительного интервала случайной погрешности результата измерений.
Доверительный интервал определяется как
, (9)
где t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и объема выборки. Для он равен 2,01.
Тогда .
Интервал определяется как , поэтому после подстановки известных значений получим:

8. Границы неисключенной систематической погрешности определяются по формуле:
, (10)
где – границы i-ой неисключенной систематической погрешности;
m – число измеряемых погрешностей;
k – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р.
Т.к. в нашем случае , то применяется формула .
9. Установим границы доверительного интервала суммарной погрешности.
Суммарная погрешность результата складывается из случайной составляющей и неисключенной суммарной систематической погрешности . Если выполняется условие , то неисключенной систематической погрешностью пренебрегают, если , то пренебрегают случайной погрешностью, если , то учитывают обе погрешности.
В нашем случае , поэтому пренебрегаем случайной погрешностью и в качестве границы суммарной погрешности принимаем
.
10. Т.к. доверительный интервал является симметричным, используем форму представления результатов в виде :
.
Т.к. старший разряд не превышает 3, то будем выражать числом с одной цифрой после запятой.
С применением правил округления, описанных в [1] получим окончательный результат:
при Р = 0,95.

Список используемой литературы
1. Обработка результатов прямых многократных равноточных измерений: Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов радиотехнических специальностей 200800, 201100, 220500 заочной формы обучения / Сост. Г.И. Смирнова. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 1999.
2. Елизаров А.С. Электрорадиоизмерения: Учебник для вузов по специальности «Радиотехника». – Минск: Вышейшая школа, 1986.
3. Дворяшин Б.В. Основы метрологии и радиоизмерения: Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1993.