КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Статистика

Задача 14.
По группе предприятий за отчетный год имеются следующие данные:
№ предприятия Годовая производительность труда работника, тыс. руб. Вооруженность труда основным капиталом, тыс. руб./чел. Удельный вес оборудования в стоимости основного капитала Текучесть кадров, % Интегральный показатель использования рабочего времени
1 360 15.2 0.39 9.1 0.96
2 298 12.8 0.29 10.1 0.80
3 328 13.8 0.34 5.0 0.84
4 330 14.0 0.36 7.0 0.86
5 366 16.3 0.47 9.0 0.98
6 316 12.6 0.26 4.0 0.83
7 334 13.2 0.32 12.0 0.87
8 300 12.9 0.29 6.5 0.84
9 314 13.1 0.33 8.0 0.81
10 320 12.5 0.28 7.0 0.85
11 362 15.7 0.40 8.5 0.97
12 332 13.5 0.34 5.0 0.83
На основании приведенных данных требуется: составить уравнение множественной зависимости производительности труда, обосновав систему факторов, включенных в модель.

Решение:
Зависимость одного фактора от других выражается уравнением множественной регрессии.
Факторы включенные в модель должны иметь близкую и сильную связь с результативным признаком, и минимальную связь между собой, поэтому мы выбираем вооруженность труда и интегральный показатель.
Результативные признаки обозначаются через Y, факторные через X. Поэтому в общем виде взаимосвязь между результатом и факторами можно записать формулой:
fy =(x1 ,x2 …)
следовательно Y является функцией от всех X.
Если на результат оказывает влияние первый фактор, то в этом случае изучается корреляция и регрессия, которые носят название парных; если на результат оказывает влияние несколько факторов, то изучается множественная корреляция и множественная регрессия.
Изучим зависимость производительности труда от вооруженности труда основным капиталом и интегрального показателя использования рабочего времени:
№ предприятия yi хi 1 хi 2
1 360 15.2 0.96
2 298 12.8 0.80
3 328 13.8 0.84
4 330 14.0 0.86
5 366 16.3 0.98
6 316 12.6 0.83
7 334 13.2 0.87
8 300 12.9 0.84
9 314 13.1 0.81
10 320 12.5 0.85
11 362 15.7 0.97
12 332 13.5 0.83

Матричная форма записи ЛММР:
Y^ = X* A^ , где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;
хi 1 , хi 2 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;
Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 15.2 0.96 ) (360)
( 1 12.8 0.80) (298)
X = ( 1 13.8 0.84) Y = (328)
( 1 14.0 0.86) (330)
(1 16.3 0.98) (366)
(1 12.6 0.83) (316)
(1 13.2 0.87) (334)
(1 12.9 0.84) (300)
(1 13.1 0.81) (314)
(1 12.5 0.85) (320)
(1 15.7 0.97) (362)
(1 13.5 0.83) (332)
Значение параметров А^ = (а0, а1, а 2 ) T и 2 – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.
Для нахождения параметров A^ применим формулу:
A^ = (XT * X ) –1 * XT ,
где (XT * X ) –1 - обратная матрица.
Решение.
а) Найдем транспонированную матрицу ХТ :
( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
XT = ( 15.2 12.8 13.8 14.0 16.3 12.6 13.2 12.9 13.1 12.5 15.7 13.5 )
(0.96 0.80 0.84 0.86 0.98 0.83 0.87 0.84 0.81 0.85 0.97 0.83).
в) Находим произведение матриц XT *X :
( 12 165.6 10.44)
XT * X = (165.6 176.04 145.25 )
(10.44 145.25 177.6).
г) Находим произведение матриц XT * Y:
(3960)
XT * Y = (4125.6)
(3970.44).
д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) –1 :
( -12 - 165.6 -10.44 )
( XT * X) –1 = ( -165.6 -176.04 -145,25 )
( - 10.44 -145.25 -177.6).
е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) –1 на произведение
матриц XT * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1, a 2)T :
( 3948 )
A^ = (XT * X) –1 * (XT * Y) = ( 3794.4 )
(3960)
Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:
yi^ = 3948 – 3794.4 * xi1 +3960 * xi2


Задача 15.
На основании исходных данных задачи 14:
1. Определить совокупный коэффициент корреляции и частные коэффициенты корреляции.
2. Сопоставить роль различных факторов в формировании моделируемого показателя.

Решение:
Составим таблицу для расчетов
Предприятия Годовая производительность труда работника Середина интервала, х x*f
1 360 15.2 5472 1.3 1.69 608.4
2 298 12.8 3814.4 - 1.1 1.21 360.6
3 328 13.8 4526.4 - 0.1 0.01 3.28
4 330 14 4620 0.1 0.01 3.30
5 366 16.3 5965.8 2.4 5.76 2108.2
6 316 12.6 3981.6 - 1.3 1.69 534
7 334 13.2 4408.8 - 0.7 0.49 163.7
8 300 12.9 3870 -1 1 300
9 314 13.1 4113.4 -0.8 0.64 201
10 320 12.5 4000 -1.4 1.96 627.2
11 362 15.7 5683.4 1.8 3.24 1172.9
12 332 13.5 4482 -0.4 0.16 53.12
Итого 3960 165.6 54937.8 -1.2 17.86 6135.7


= 54937.8/3960 = 13.9
1. Коэффициенты корреляции:
Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:
Сначала найдем дисперсию:

= 17.86/12 = 1.5
б = корень из D
= 1.2
.
а также
или .
= 12*4408.8 – 165.6*3960/(12*2303.03 – 27423.4)*(12*1312520 – 15681600) = 157.8
= -1.2/17.86 = - 0.07
Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

= 24900+0.0049 + 22/ 0.99 = 159
где – парные коэффициенты корреляции между признаками.
Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .
Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. В случае зависимости у от двух факторных признаков частные коэффициенты корреляции рассчитываются:
; ,
= 157.8 – 157.8*-0.07/ 1-24900*1-0.0049 = 1
где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.
В первом случае исключено влияние факторного признака х2, во втором – х1.
Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:
,
= 13.9/330 = 0.04
где – среднее значение соответствующего факторного признака;
– среднее значение результативного признака;
– коэффициент регрессии при i-м факторном признаке.
Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения результативного показателя при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.