Задача 1 Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением . Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с после начала движения. Исходные данные ; м; с Решение Линейную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату s по времени: . (1.1) Линейная скорость связана с угловой соотношением: , откуда угловая скорость в любой момент времени . (1.2) Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: . Тангенциальное ускорение связано с угловым соотношением: , откуда угловое ускорение в любой момент времени . (1.3) Таким образом, в момент времени получим следующие результаты: пройденный путь: м; угловая скорость: рад/с; угловое ускорение: рад/с2.
Задача 2 На наклонной плоскости длиной 5 м высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить к грузу, чтобы втаскивать его: а) с постоянной скоростью; б) с ускорением 1 м/с2? Коэффициент трения 0,2. Исходные данные м; м; кг; ; м/с2 Решение а) рассмотрим случай равномерного движения груза. В этом случае ускорение . Тогда согласно второму закону Ньютона имеем: . Спроектировав все силы на ось х, получим соответствующее равенство для проекций этих сил: . Сила тяжести , где м/с2 – ускорение свободного падения. Сила трения , где - сила нормального давления. В случае наклонной плоскости проекция последней силы на ось z , тогда . Таким образом, получим . Синус и косинус находятся по стандартным формулам: ; . Тогда окончательная формула примет вид: . Подставляем известные данные: Н. б) рассмотрим случай равноускоренного движения груза. В этом случае будем иметь: . Спроектировав все векторы на ось х, получим соответствующее равенство: . Отсюда Подставив сюда выражения для и из предыдущего случая, получим окончательную формулу: . Подставляем известные данные: Н.
Задача 3 Маховик, массу которого можно считать распределенной по ободу радиуса 18 см, вращается со скоростью, соответствующей 600 об/мин. Под действием тормозящего момента 10 Н•м маховик останавливается. Через какое время он остановился, какое число оборотов совершил за это время и какова работа торможения, если его масса равна 10 кг. Исходные данные Н•м; см; об/мин; кг Решение По второму закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента: , где - начальная и конечная угловые скорости, J – момент инерции. Т.к. и , то . (3.1) Т.к. момент М оказывает тормозящее действие, то знак минус в правой части можно опустить. Момент инерции маховика, масса которого распределена по ободу . Подставив это выражение в формулу (3.1), получим . Выразив угловую скорость через частоту вращения n, получим: . Тогда . Подставляем известные данные: с. Для нахождения числа оборотов до полной остановки маховика применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии: . Т.к. , то , где знак минус можно опустить. С другой стороны работа при вращательном движении определяется по формуле , где φ – угол поворота. Тогда . Угол поворота , где N – число оборотов до полной остановки. Тогда Подставляем известные данные: оборота. Тогда работа торможения Дж.
Задача 4 В деревянный шар массой 8 кг, подвешенный на нити длиной 1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным. Исходные данные кг; м; г; Решение Удар пули следует рассматривать как неупругий. Запишем закон сохранения импульса для системы «пуля-шар»: , (4.1) где v – скорость пули до удара; u – скорость шара вместе с пулей после удара. В результате взаимодействия шара с пулей он приобрел кинетическую энергию, которая после отклонения шара на угол α перешла в потенциальную энергию: . (4.2) Из (4.1) выразим u: . (4.3) Из (4.2) получим: . Подставив сюда значение u из (4.3), получим: Найдем h: , . Тогда . Подставляем известные данные: м/с.
Задача 5 Определить частоту гармонических колебаний диска радиусом 20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости. Исходные данные см Решение В данном случае мы имеем дело с физическим маятником, период колебаний которого определяется формулой: , где d – расстояние центра масс до оси вращения. Из условия задачи . По теореме Штейнера . Т.к. момент инерции диска , то . Известно, что период и частота колебаний связаны соотношением . Тогда . Подставляем известные данные: с-1.
Задача 6 Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление 2 МПа и температура 800 К, а в другом давление 2,5 МПа и температура 200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили содержащийся в них газ до температуры 200 К. Определить установившееся в сосудах давление. Исходные данные МПа; МПа; К; К; К Решение По закону Дальтона . (6.1) Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона , тогда ; . (6.2) После соединения сосудов трубкой установившееся давление будет следующим: . (6.3) Выразим из выражений (6.2) массы m1 и m2: ; . Подставив полученные выражения в (6.3), получим: . Подставляем известные данные: МПа.
Задача 7 Азот, занимавший объем 10 л под давлением 0,2 МПа, изотермически расширился до объема 28 л. Определить работу расширения, изменение внутренней энергии и количество сообщенной газу теплоты. Исходные данные л; л; МПа
Решение Т.к. мы имеем дело с изотермическим процессом (T=const), то работа газа будет находиться по формуле: . Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона , тогда . Подставляя известные данные, получим: Дж. Согласно первому началу динамики . (7.1) Изменение внутренней энергии , где - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Т.к. , то . Следовательно, подставив в (7.1), получим количество теплоты, сообщенное газу Дж.
Задача 8 Четыре одинаковых заряда по 40 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной 10 см. Найти силу, действующую на один из зарядов со стороны трех остальных. Исходные данные нКл; см Решение На каждый заряд действует сила, равная геометрической сумме трех сил со стороны каждого из остальных зарядов. Например, на заряд Q4 действует сила . Переходя от векторных величин к скалярным (проецируем все силы на ось, направленную вдоль силы F), получим: . (8.1) Согласно закону Кулона сила взаимодействия двух точечных зарядов находится по формуле: , где Ф/м, - диэлектрическая проницаемость среды; - расстояние между зарядами. Тогда ; . Подставляя полученные выражения в (8.1), получим: . Подставляем известные данные: мН.
Задача 9 Конденсатор емкостью 6 мкФ, соединенный последовательно с конденсатором неизвестной емкости, подключен к источнику постоянного напряжения 12 В. Определить емкость второго конденсатора и напряжение на каждом из них, если заряд батареи 24 мкКл. Исходные данные мкФ; В; мкКл. Решение Электроемкость конденсатора может быть найдена по формуле . (9.1) В нашем случае С – общая емкость двух конденсаторов. Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов , откуда . Подставляя формулу (9.1) в последнее выражение, получим: . Подставляем известные данные: мкФ. Задача 10 К источнику тока подключают один раз проводник сопротивлением 1 Ом, другой раз - сопротивлением 4 Ом. В обоих случаях за одно и тоже время на проводнике выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока. Исходные данные Ом; Ом Решение Количество теплоты, выделяющееся на проводнике за время t, находится по формуле: . Сила тока по закону Ома для всей цепи: , где - ЭДС источника тока. Тогда Для первого случая имеем . Для второго случая . Т.к. , то Подставляем известные данные: Ом.
|
|
Данные о файле
|
Размер |
594 KB |
Скачиваний |
68 |

|
|