Задача 1
Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением . Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с после начала движения.
Исходные данные
; м; с
Решение
Линейную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату s по времени:
. (1.1)
Линейная скорость связана с угловой соотношением:
,
откуда угловая скорость в любой момент времени
. (1.2)
Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
.
Тангенциальное ускорение связано с угловым соотношением:
,
откуда угловое ускорение в любой момент времени
. (1.3)
Таким образом, в момент времени получим следующие результаты:
пройденный путь: м;
угловая скорость: рад/с;
угловое ускорение: рад/с2.

Задача 2
На наклонной плоскости длиной 5 м высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить к грузу, чтобы втаскивать его: а) с постоянной скоростью; б) с ускорением 1 м/с2? Коэффициент трения 0,2.
Исходные данные
м; м; кг; ; м/с2
Решение
а) рассмотрим случай равномерного движения груза. В этом случае ускорение .
Тогда согласно второму закону Ньютона имеем:
.
Спроектировав все силы на ось х, получим соответствующее равенство для проекций этих сил:
.
Сила тяжести , где м/с2 – ускорение свободного падения.
Сила трения , где - сила нормального давления.
В случае наклонной плоскости проекция последней силы на ось z , тогда .
Таким образом, получим
.
Синус и косинус находятся по стандартным формулам:
; .
Тогда окончательная формула примет вид:
.
Подставляем известные данные:
Н.
б) рассмотрим случай равноускоренного движения груза. В этом случае будем иметь:
.
Спроектировав все векторы на ось х, получим соответствующее равенство:
.
Отсюда
Подставив сюда выражения для и из предыдущего случая, получим окончательную формулу:
.
Подставляем известные данные:
Н.


Задача 3
Маховик, массу которого можно считать распределенной по ободу радиуса 18 см, вращается со скоростью, соответствующей 600 об/мин. Под действием тормозящего момента 10 Н•м маховик останавливается. Через какое время он остановился, какое число оборотов совершил за это время и какова работа торможения, если его масса равна 10 кг.
Исходные данные
Н•м; см; об/мин; кг
Решение
По второму закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:
,
где - начальная и конечная угловые скорости, J – момент инерции.
Т.к. и , то . (3.1)
Т.к. момент М оказывает тормозящее действие, то знак минус в правой части можно опустить.
Момент инерции маховика, масса которого распределена по ободу
.
Подставив это выражение в формулу (3.1), получим
.
Выразив угловую скорость через частоту вращения n, получим:
.
Тогда .
Подставляем известные данные:
с.
Для нахождения числа оборотов до полной остановки маховика применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:
.
Т.к. , то , где знак минус можно опустить.
С другой стороны работа при вращательном движении определяется по формуле , где φ – угол поворота.
Тогда .
Угол поворота , где N – число оборотов до полной остановки.
Тогда

Подставляем известные данные:
оборота.
Тогда работа торможения Дж.

Задача 4
В деревянный шар массой 8 кг, подвешенный на нити длиной 1,8 м, попадает
горизонтально летящая пуля массой 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.
Исходные данные
кг; м; г;
Решение
Удар пули следует рассматривать как неупругий.
Запишем закон сохранения импульса для системы «пуля-шар»:
, (4.1)
где v – скорость пули до удара;
u – скорость шара вместе с пулей после удара.
В результате взаимодействия шара с пулей он приобрел кинетическую энергию, которая после отклонения шара на угол α перешла в потенциальную энергию:
. (4.2)
Из (4.1) выразим u:
. (4.3)
Из (4.2) получим:
.
Подставив сюда значение u из (4.3), получим:

Найдем h:
, .
Тогда
.
Подставляем известные данные:
м/с.

Задача 5
Определить частоту гармонических колебаний диска радиусом 20 см около
горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.
Исходные данные
см
Решение
В данном случае мы имеем дело с физическим маятником, период колебаний которого определяется формулой:
,
где d – расстояние центра масс до оси вращения.
Из условия задачи .
По теореме Штейнера
.
Т.к. момент инерции диска , то
.
Известно, что период и частота колебаний связаны соотношением
.
Тогда .
Подставляем известные данные:
с-1.

Задача 6
Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление 2 МПа и температура 800 К, а в другом давление 2,5 МПа и температура
200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили содержащийся в них газ до температуры 200 К. Определить установившееся в сосудах давление.
Исходные данные
МПа; МПа; К; К; К
Решение
По закону Дальтона
. (6.1)
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона , тогда
; . (6.2)
После соединения сосудов трубкой установившееся давление будет следующим:
. (6.3)
Выразим из выражений (6.2) массы m1 и m2:
; .
Подставив полученные выражения в (6.3), получим:
.
Подставляем известные данные:
МПа.

Задача 7
Азот, занимавший объем 10 л под давлением 0,2 МПа, изотермически расширился до объема 28 л. Определить работу расширения, изменение внутренней энергии и количество сообщенной газу теплоты.
Исходные данные
л; л; МПа

Решение
Т.к. мы имеем дело с изотермическим процессом (T=const), то работа газа будет находиться по формуле:
.
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона , тогда
.
Подставляя известные данные, получим:
Дж.
Согласно первому началу динамики
. (7.1)
Изменение внутренней энергии ,
где - молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Т.к. , то .
Следовательно, подставив в (7.1), получим количество теплоты, сообщенное газу
Дж.

Задача 8
Четыре одинаковых заряда по 40 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной 10 см. Найти силу, действующую на один из зарядов со стороны трех остальных.
Исходные данные
нКл; см
Решение
На каждый заряд действует сила, равная геометрической сумме трех сил со стороны каждого из остальных зарядов. Например, на заряд Q4 действует сила .
Переходя от векторных величин к скалярным (проецируем все силы на ось, направленную вдоль силы F), получим:
. (8.1)
Согласно закону Кулона сила взаимодействия двух точечных зарядов находится по формуле:
,
где Ф/м,
- диэлектрическая проницаемость среды;
- расстояние между зарядами.
Тогда
;
.
Подставляя полученные выражения в (8.1), получим:
.
Подставляем известные данные:
мН.


Задача 9
Конденсатор емкостью 6 мкФ, соединенный последовательно с конденсатором неизвестной емкости, подключен к источнику постоянного напряжения 12 В. Определить емкость второго конденсатора и напряжение на каждом из них, если заряд батареи 24 мкКл.
Исходные данные
мкФ; В; мкКл.
Решение
Электроемкость конденсатора может быть найдена по формуле
. (9.1)
В нашем случае С – общая емкость двух конденсаторов.
Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов
, откуда .
Подставляя формулу (9.1) в последнее выражение, получим:
.
Подставляем известные данные:
мкФ.
Задача 10
К источнику тока подключают один раз проводник сопротивлением 1 Ом, другой раз - сопротивлением 4 Ом. В обоих случаях за одно и тоже время на проводнике выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока.
Исходные данные
Ом; Ом
Решение
Количество теплоты, выделяющееся на проводнике за время t, находится по формуле:
.
Сила тока по закону Ома для всей цепи:
,
где - ЭДС источника тока.
Тогда
Для первого случая имеем .
Для второго случая .
Т.к. , то
Подставляем известные данные:
Ом.